Номер 14, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Последовательность ($a_n$) задана формулой $a_n = n^2 - 4$. Найдите все члены последовательности, которые изображаются на координатной плоскости точками, расположенными ниже прямой $y=14$, и постройте эти точки.

y

x

0

1

1

(1 - n)b + d =

5. Турист...

0.5 км.

Решение.

Дана последовательность $(a_n)$, заданная формулой $a_n = n^2 - 4$. Требуется найти все члены этой последовательности, которые на координатной плоскости изображаются точками, расположенными ниже прямой $y=14$. Условие "расположены ниже прямой $y=14$" означает, что значение члена последовательности $a_n$ должно быть меньше 14. Таким образом, нам нужно найти все натуральные числа $n$ (поскольку $n$ — это номер члена последовательности), для которых выполняется неравенство:

$a_n < 14$

Подставим в это неравенство формулу для $a_n$:

$n^2 - 4 < 14$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:

$n^2 < 14 + 4$
$n^2 < 18$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), нам нужно найти все натуральные числа, квадрат которых меньше 18. Проверим значения $n$ по порядку:

• Если $n=1$, то $n^2 = 1^2 = 1$. $1 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=2$, то $n^2 = 2^2 = 4$. $4 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=3$, то $n^2 = 3^2 = 9$. $9 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=4$, то $n^2 = 4^2 = 16$. $16 < 18$, значит, это значение подходит.
• Если $n=5$, то $n^2 = 5^2 = 25$. $25 > 18$, это значение и все последующие не подходят.

Следовательно, условию удовлетворяют значения $n = 1, 2, 3, 4$.

Теперь вычислим соответствующие значения членов последовательности $a_n$ для этих $n$:

• При $n=1$: $a_1 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Координаты точки: $(1, -3)$.
• При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Координаты точки: $(2, 0)$.
• При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Координаты точки: $(3, 5)$.
• При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$. Координаты точки: $(4, 12)$.

Заполним таблицу, данную в условии:

Наконец, построим найденные точки на координатной плоскости.

Ответ: Члены последовательности, расположенные ниже прямой $y=14$: $a_1=-3$, $a_2=0$, $a_3=5$ и $a_4=12$. Соответствующие точки $(1, -3)$, $(2, 0)$, $(3, 5)$ и $(4, 12)$ построены на графике.