Номер 30.8, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.8. Являются ли равновозможными событие А и событие В, если событие А заключается в том, что случайным образом выбранная функция $y = f(x)$ на множестве $R$ монотонно возрастает; событие В заключается в том, что $f(56) < f(57)$?

Для ответа на данный вопрос необходимо оценить и сравнить вероятности наступления события А и события В. Несмотря на то, что понятие «случайным образом выбранная функция» не имеет строгого формального определения в математике без задания конкретного вероятностного пространства, решение подобных задач обычно опирается на принцип симметрии.

Рассмотрим событие В, которое заключается в том, что для случайно выбранной функции $y=f(x)$ выполняется неравенство $f(56) < f(57)$. Давайте проанализируем значения функции в этих двух точках, $y_1 = f(56)$ и $y_2 = f(57)$. Так как функция выбирается случайно, нет никаких априорных причин считать, что одно из этих значений будет больше или меньше другого. Можно рассматривать $y_1$ и $y_2$ как два независимых случайных значения из множества действительных чисел $R$. Существует три возможных соотношения между ними: $y_1 < y_2$, $y_1 > y_2$ или $y_1 = y_2$. Исходя из симметрии, первые два исхода являются равновероятными. Вероятность того, что два случайно выбранных действительных числа окажутся в точности равны друг другу, равна нулю (при любом непрерывном распределении вероятностей). Таким образом, вся единичная вероятность распределяется между двумя оставшимися исходами. Следовательно, вероятность события В равна $P(B) = P(f(56) < f(57)) = 1/2$.

Теперь рассмотрим событие А, которое заключается в том, что случайно выбранная функция $y=f(x)$ монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел $R$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, должно выполняться неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$. Это очень сильное ограничение, так как оно должно выполняться для бесконечного числа пар точек. Чтобы оценить вероятность этого события, рассмотрим значения функции в $n$ различных точках, упорядоченных по возрастанию: $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Для выполнения условия монотонного возрастания необходимо, чтобы соответствующие значения функции также были упорядочены: $f(x_1) \le f(x_2) \le \dots \le f(x_n)$.

Если мы считаем, что значения $y_i = f(x_i)$ являются случайными и независимыми, и их распределение непрерывно, то вероятность совпадения любых двух значений равна нулю. Тогда условие сводится к $f(x_1) < f(x_2) < \dots < f(x_n)$. Существует $n!$ (n-факториал) возможных перестановок для $n$ различных значений. В силу симметрии все эти перестановки равновероятны. Только одна из них соответствует возрастающему порядку. Таким образом, вероятность того, что значения функции в $n$ случайно выбранных точках окажутся в порядке возрастания, равна $1/n!$.

Событие А требует выполнения условия монотонности для всех точек на действительной оси, а не только для $n$ точек. Это означает, что вероятность события А должна быть меньше или равна вероятности выполнения этого условия для любого конечного набора из $n$ точек: $P(A) \le 1/n!$ для любого натурального $n \ge 2$. Поскольку это неравенство верно для сколь угодно большого $n$, а $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0$, мы можем заключить, что вероятность события А равна нулю: $P(A) = 0$.

Сравнивая полученные вероятности, мы видим, что $P(A) = 0$ и $P(B) = 1/2$. Так как $0 \ne 1/2$, события А и В не являются равновозможными.

Ответ: Нет, события А и В не являются равновозможными.