Номер 30.15, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.15. Решите методом интервалов неравенство:

1) $\frac{x}{x+1} \leq \frac{2}{x-1}$

2) $\frac{2x}{x+2} - 1 \geq \frac{2}{x-2}$

1) $\frac{x}{x+1} \le \frac{2}{x-1}$

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x}{x+1} - \frac{2}{x-1} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{x(x-1) - 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x^2 - x - 2x - 2}{(x+1)(x-1)} \le 0$

$\frac{x^2 - 3x - 2}{(x+1)(x-1)} \le 0$

Теперь найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 3x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки будут входить в решение, и на числовой прямой мы их отметим закрашенными кружками.

Нули знаменателя: $(x+1)(x-1) = 0$.

Отсюда $x_3 = -1$ и $x_4 = 1$. Эти точки не входят в область допустимых значений, поэтому на числовой прямой мы их отметим выколотыми (пустыми) кружками.

Расположим найденные точки на числовой оси в порядке возрастания: $-1$, $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$, $1$, $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ (поскольку $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-1 < \frac{3-\sqrt{17}}{2} < -0.5$ и $3.5 < \frac{3+\sqrt{17}}{2} < 4$).

Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 3x - 2}{(x+1)(x-1)}$ на каждом из полученных интервалов.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак «–»). Это интервалы $(-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$ и $(1, \frac{3+\sqrt{17}}{2}] $.

Ответ: $x \in (-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}] \cup (1, \frac{3+\sqrt{17}}{2}]$.

2) $\frac{2x}{x+2} - 1 \ge \frac{2}{x-2}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2x}{x+2} - 1 - \frac{2}{x-2} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$:

$\frac{2x(x-2) - 1(x+2)(x-2) - 2(x+2)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2x^2 - 4x - (x^2 - 4) - (2x + 4)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 4x - x^2 + 4 - 2x - 4}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 6x}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{x(x-6)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x-6) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки будут входить в решение (закрашенные кружки).

Нули знаменателя: $(x+2)(x-2) = 0$. Отсюда $x_3 = -2$ и $x_4 = 2$. Эти точки не входят в ОДЗ (выколотые кружки).

Отметим точки на числовой оси: -2, 0, 2, 6.

Определим знаки выражения на каждом интервале.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак «+»). Это интервалы $(-\infty, -2)$, $[0, 2)$ и $[6, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [0, 2) \cup [6, \infty)$.