Номер 30.17, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.17. Известно, что график функции $y = x^2 - ax + 4$ проходит через точку $M(-1; 3)$. Постройте график этой функции и найдите наименьшее значение функции.

По условию задачи, график функции $y = x^2 - ax + 4$ проходит через точку M с координатами $(-1; 3)$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = -1$ и $y = 3$ в уравнение:

$3 = (-1)^2 - a \cdot (-1) + 4$

$3 = 1 + a + 4$

$3 = 5 + a$

$a = 3 - 5$

$a = -2$

Таким образом, искомая функция имеет вид: $y = x^2 - (-2)x + 4$, то есть $y = x^2 + 2x + 4$.

Постройте график этой функции

Графиком функции $y = x^2 + 2x + 4$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Ордината вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 3)$, что совпадает с точкой M.

Для построения графика найдем еще несколько точек.

При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.

В силу симметрии параболы относительно оси $x = -1$, при $x = -2$ значение $y$ будет таким же, как и при $x=0$, то есть $y=4$. Точка $(-2; 4)$.

При $x = 1$, $y = 1^2 + 2 \cdot 1 + 4 = 7$. Точка $(1; 7)$.

Симметричная ей точка при $x = -3$ также будет иметь ординату $y = 7$. Точка $(-3; 7)$.

Построим график, используя найденные точки: $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(-2; 4)$, $(1; 7)$, $(-3; 7)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2x + 4$ построен выше.

Найдите наименьшее значение функции

Так как функция $y = x^2 + 2x + 4$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине.

Координаты вершины мы уже нашли: $(-1; 3)$.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{min} = y_0 = 3$.

Ответ: 3.