Номер 30.14, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

30.14. Выполните:

1) $\left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + x^2} - x\right);$

2) $\left(\frac{1}{a - \sqrt{x}} + \frac{1}{a + \sqrt{x}}\right) : \frac{a}{a^2 - x}.$

1) Упростим данное выражение по шагам. Первым делом выполним действие в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{1+x^2}$.

$1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$\left(\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \cdot (\sqrt{1+x^2} - x)$

Перемножим дроби, умножив числитель на выражение во второй скобке:

$\frac{(\sqrt{1+x^2} + x)(\sqrt{1+x^2} - x)}{\sqrt{1+x^2}}$

Числитель представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{1+x^2}$ и $b = x$.

Применим эту формулу к числителю:

$(\sqrt{1+x^2})^2 - x^2 = (1+x^2) - x^2 = 1 + x^2 - x^2 = 1$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

2) Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей $(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})$.

$\frac{1}{a-\sqrt{x}} + \frac{1}{a+\sqrt{x}} = \frac{1 \cdot (a+\sqrt{x})}{(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})} + \frac{1 \cdot (a-\sqrt{x})}{(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{(a+\sqrt{x}) + (a-\sqrt{x})}{(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})} = \frac{a+\sqrt{x} + a-\sqrt{x}}{a^2 - (\sqrt{x})^2} = \frac{2a}{a^2 - x}$

При упрощении знаменателя мы использовали формулу разности квадратов.

Теперь выполним деление, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{2a}{a^2 - x} : \frac{a}{a^2-x}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{2a}{a^2 - x} \cdot \frac{a^2-x}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a^2-x)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{a}}{\cancel{a^2 - x}} \cdot \frac{\cancel{a^2-x}}{\cancel{a}} = 2$

Выражение имеет смысл при $x \ge 0$, $a \ne 0$ и $a^2 \ne x$.

Ответ: $2$