Номер 6, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 1. Числовые неравенства - номер 6, страница 5.

Условие.

6. Докажите неравенство.

1) $(m - 3)(m - 5) > m(m - 8)$

Решение.

Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:

$(m - 3)(m - 5) - m(m - 8) = $

_________________________________________________________________________________________________________

Получили, что разность левой и правой частей неравенства является ________ числом при любом значении $m$. Следовательно,

$(m - 3)(m - 5) > m(m - 8)$.

2) $(a - 10)(a + 2) < (a - 9)(a + 1)$

Решение.

_________________________________________________________________________________________________________

3) $5c^2 - 12c + 3 < (3c - 2)^2$

Решение.

Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:

$5c^2 - 12c + 3 - (3c - 2)^2 = 5c^2 - 12c + 3 - (9c^2 - 12c + 4) = $

$= 5c^2 - 12c + 3 - 9c^2 + 12c - 4 = -4c^2 - 1 = -4c^2 + (-1)$.

При любом значении $c$ имеем: $-4c^2$ ______ $0$.

Сумма __________________________________ числа $-4c^2$ и ___________________________________

___________________________________ числа $-1$ является числом ___________________________________________.

Следовательно, $-4c^2 - 1$ ______ $0$. Отсюда следует, что $5c^2 - 12c + 3 < (3c - 2)^2$ при любом значении $с$.

_________________________________________________________________________________________________________

4) $(2a - 1)(2a + 1) > (a - 2)(a + 2)$

Решение.

_________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

5) $b(b - 8) \ge -16$

Решение.

_________________________________________________________________________________________________________

Решение.

1) $(m - 3)(m - 5) > m(m - 8)$

Решение.
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства: $(m - 3)(m - 5) - m(m - 8) = (m^2 - 5m - 3m + 15) - (m^2 - 8m) = m^2 - 8m + 15 - m^2 + 8m = 15$.
Получили, что разность левой и правой частей неравенства является положительным числом ($15 > 0$) при любом значении $m$. Следовательно, $(m - 3)(m - 5) > m(m - 8)$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $(a - 10)(a + 2) < (a - 9)(a + 1)$

Решение.
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства: $(a - 10)(a + 2) - (a - 9)(a + 1) = (a^2 + 2a - 10a - 20) - (a^2 + a - 9a - 9) = (a^2 - 8a - 20) - (a^2 - 8a - 9) = a^2 - 8a - 20 - a^2 + 8a + 9 = -11$.
Разность левой и правой частей неравенства равна $-11$, что является отрицательным числом.
Так как $-11 < 0$, то разность $(a - 10)(a + 2) - (a - 9)(a + 1)$ всегда отрицательна, и, следовательно, неравенство $(a - 10)(a + 2) < (a - 9)(a + 1)$ верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $5c^2 - 12c + 3 < (3c - 2)^2$

Решение.
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства: $5c^2 - 12c + 3 - (3c - 2)^2 = 5c^2 - 12c + 3 - (9c^2 - 12c + 4) = 5c^2 - 12c + 3 - 9c^2 + 12c - 4 = -4c^2 - 1$.
При любом значении $c$ выражение $c^2$ является неотрицательным, то есть $c^2 \ge 0$. Тогда $-4c^2 \le 0$.
Сумма неположительного числа $-4c^2$ и отрицательного числа $-1$ всегда является отрицательным числом.
Следовательно, $-4c^2 - 1 < 0$ при любом значении $c$. Отсюда следует, что $5c^2 - 12c + 3 < (3c - 2)^2$ при любом значении $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $(2a - 1)(2a + 1) > (a - 2)(a + 2)$

Решение.
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(2a - 1)(2a + 1) - (a - 2)(a + 2) = ((2a)^2 - 1^2) - (a^2 - 2^2) = (4a^2 - 1) - (a^2 - 4) = 4a^2 - 1 - a^2 + 4 = 3a^2 + 3$.
При любом значении $a$ имеем: $a^2 \ge 0$. Тогда $3a^2 \ge 0$, и $3a^2 + 3 \ge 3$.
Так как $3 > 0$, то разность левой и правой частей всегда положительна.
Следовательно, неравенство $(2a - 1)(2a + 1) > (a - 2)(a + 2)$ верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

5) $b(b - 8) \ge -16$

Решение.
Преобразуем данное неравенство, перенеся все члены в левую часть:
$b(b - 8) \ge -16$
$b^2 - 8b \ge -16$
$b^2 - 8b + 16 \ge 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b - 4)^2$.
Таким образом, неравенство принимает вид $(b - 4)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Неравенство доказано.