Номер 11, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 1. Числовые неравенства - номер 11, страница 9.

Условие.

11. Докажите, что если $0 < a < b$, то $a < \sqrt{ab} < b$.

Решение.

Решение.

Для доказательства двойного неравенства $a < \sqrt{ab} < b$ при условии $0 < a < b$ необходимо доказать два отдельных неравенства: $a < \sqrt{ab}$ и $\sqrt{ab} < b$.

1. Докажем неравенство $a < \sqrt{ab}$.

Начнем с данного в условии неравенства $a < b$.

Поскольку по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части неравенства $a < b$ на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:

$a \cdot a < b \cdot a$

$a^2 < ab$

Так как $a$ и $b$ положительные числа, обе части полученного неравенства ($a^2$ и $ab$) также положительны. Мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{a^2} < \sqrt{ab}$

Так как $a > 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, мы получаем:

$a < \sqrt{ab}$

Первая часть неравенства доказана.

2. Докажем неравенство $\sqrt{ab} < b$.

Снова используем неравенство из условия: $a < b$.

Поскольку по условию $b > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на положительное число $b$. Знак неравенства при этом не изменится:

$a \cdot b < b \cdot b$

$ab < b^2$

Обе части этого неравенства положительны. Извлечем из них квадратный корень, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{ab} < \sqrt{b^2}$

Так как $b > 0$, то $\sqrt{b^2} = b$. Следовательно, мы получаем:

$\sqrt{ab} < b$

Вторая часть неравенства доказана.

Объединяя доказанные неравенства $a < \sqrt{ab}$ и $\sqrt{ab} < b$, мы получаем искомое двойное неравенство:

$a < \sqrt{ab} < b$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.