Номер 10, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 1. Числовые неравенства - номер 10, страница 8.

Условие.

10. Докажите неравенство.

1) $a^2 + b^2 - 18a - 16b + 145 \ge 0$

Решение.

Имеем: $a^2 + b^2 - 18a - 16b + 145 = a^2 - 18a + 81 + b^2 - 16b + 64$

2) $10b^2 - 30bc + 25c^2 - 10b + 30 > 0$

Решение.

3) $a^2 + b^2 + c^2 > 6(4a - 2b + 5c - 68)$

Решение.

4) $a^2 + b^2 + 1 \ge a + b + ab$

Решение.

Имеем: $a^2 + b^2 + 1 - (a + b + ab) = a^2 + b^2 + 1 - a - b - ab = \frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2 - 2a - 2b - 2ab)$

Решение.

1) $a^2 + b^2 - 18a - 16b + 145 \ge 0$

Для доказательства преобразуем левую часть неравенства, выделив полные квадраты для переменных $a$ и $b$. Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 18a) + (b^2 - 16b) + 145 \ge 0$

Чтобы выделить полные квадраты, воспользуемся формулой $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Для выражения с $a$: $a^2 - 18a = a^2 - 2 \cdot a \cdot 9$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $9^2 = 81$.

Для выражения с $b$: $b^2 - 16b = b^2 - 2 \cdot b \cdot 8$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $8^2 = 64$.

Представим число $145$ в виде суммы $81 + 64$.

$145 = 81 + 64$.

Перепишем исходное выражение:

$(a^2 - 18a + 81) + (b^2 - 16b + 64) \ge 0$

Теперь свернем полные квадраты:

$(a - 9)^2 + (b - 8)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a - 9)^2 \ge 0$ и $(b - 8)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных величин также неотрицательна. Следовательно, неравенство верно для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $10b^2 - 30bc + 25c^2 - 10b + 30 > 0$

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полные квадраты. Сгруппируем слагаемые.

Заметим, что $25c^2 - 30bc$ являются частью квадрата разности $(5c - 3b)^2 = 25c^2 - 30bc + 9b^2$.

Представим $10b^2$ как $9b^2 + b^2$ и перегруппируем выражение:

$(9b^2 - 30bc + 25c^2) + b^2 - 10b + 30 > 0$

Свернем первый полный квадрат:

$(3b - 5c)^2 + (b^2 - 10b) + 30 > 0$

Теперь выделим полный квадрат для переменной $b$ в выражении $(b^2 - 10b)$, для этого представим $30$ как $25 + 5$:

$(3b - 5c)^2 + (b^2 - 10b + 25) + 5 > 0$

Свернем второй полный квадрат:

$(3b - 5c)^2 + (b - 5)^2 + 5 > 0$

Выражения $(3b - 5c)^2$ и $(b - 5)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны: $(3b - 5c)^2 \ge 0$ и $(b - 5)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел и положительного числа 5 всегда будет положительной:

$(3b - 5c)^2 + (b - 5)^2 + 5 \ge 0 + 0 + 5 = 5$.

Поскольку $5 > 0$, то и все выражение строго больше нуля. Неравенство верно для любых значений $b$ и $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $a^2 + b^2 + c^2 > 6(4a - 2b + 5c - 68)$

Сначала раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые в левую часть.

$a^2 + b^2 + c^2 > 24a - 12b + 30c - 408$

$a^2 - 24a + b^2 + 12b + c^2 - 30c + 408 > 0$

Теперь выделим полные квадраты для каждой переменной, сгруппировав слагаемые.

$(a^2 - 24a) + (b^2 + 12b) + (c^2 - 30c) + 408 > 0$

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot 12 + 12^2) - 12^2 + (b^2 + 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + (c^2 - 2 \cdot c \cdot 15 + 15^2) - 15^2 + 408 > 0$

$(a - 12)^2 - 144 + (b + 6)^2 - 36 + (c - 15)^2 - 225 + 408 > 0$

Упростим числовые слагаемые:

$(a - 12)^2 + (b + 6)^2 + (c - 15)^2 - 144 - 36 - 225 + 408 > 0$

$(a - 12)^2 + (b + 6)^2 + (c - 15)^2 - 405 + 408 > 0$

$(a - 12)^2 + (b + 6)^2 + (c - 15)^2 + 3 > 0$

Так как $(a - 12)^2 \ge 0$, $(b + 6)^2 \ge 0$ и $(c - 15)^2 \ge 0$ для любых действительных $a, b, c$, их сумма также неотрицательна. Сумма неотрицательного числа и положительного числа 3 всегда будет положительной.

$(a - 12)^2 + (b + 6)^2 + (c - 15)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 0 + 3 = 3$.

Поскольку $3 > 0$, неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $a^2 + b^2 + 1 \ge a + b + ab$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства.

$a^2 + b^2 + 1 - a - b - ab \ge 0$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы было удобнее группировать слагаемые для выделения полных квадратов.

$2a^2 + 2b^2 + 2 - 2a - 2b - 2ab \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить три полных квадрата. Представим $2a^2$ как $a^2+a^2$, $2b^2$ как $b^2+b^2$ и $2$ как $1+1$.

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Свернем каждый полный квадрат по формуле:

$(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Каждое из слагаемых в левой части является квадратом действительного числа, следовательно, каждое из них неотрицательно:

$(a - b)^2 \ge 0$

$(a - 1)^2 \ge 0$

$(b - 1)^2 \ge 0$

Сумма трех неотрицательных слагаемых также является неотрицательной величиной. Таким образом, неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.