Номер 7, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 1. Числовые неравенства - номер 7, страница 6.

Условие.

7. Докажите неравенство.

1) $2b^2 - 10b + 26 > 0$

Решение.

Имеем: $2b^2 - 10b + 26 = b^2 + b^2 - 10b + 25 + 1 = $

2) $x^2 + 10y^2 \ge 6xy$

Решение.

3) $8 (a^2 + 5) \ge 32(a - 1)$

Решение.

Решение.

1) $2b^2 - 10b + 26 > 0$

Решение.

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат. Для этого представим $2b^2$ как $b^2 + b^2$ и $26$ как $25 + 1$.

$2b^2 - 10b + 26 = b^2 + b^2 - 10b + 25 + 1 = b^2 + (b^2 - 10b + 25) + 1$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b-5)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $b^2 + (b-5)^2 + 1$.

Оценим значение полученного выражения. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $b^2 \ge 0$ и $(b-5)^2 \ge 0$ для любого значения $b$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 1 всегда будет положительной:

$b^2 + (b-5)^2 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.

Так как $1 > 0$, то и $2b^2 - 10b + 26 > 0$ при любом значении $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $x^2 + 10y^2 \ge 6xy$

Решение.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 - 6xy + 10y^2 \ge 0$.

Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$. Представим $10y^2$ как $9y^2 + y^2$.

$(x^2 - 6xy + 9y^2) + y^2 \ge 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = (x-3y)^2$.

Неравенство принимает вид: $(x-3y)^2 + y^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(x-3y)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых также всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство $(x-3y)^2 + y^2 \ge 0$ выполняется для любых действительных чисел $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $8(a^2 + 5) \ge 32(a - 1)$

Решение.

Для начала упростим неравенство, разделив обе его части на 8 (так как $8 > 0$, знак неравенства не меняется):

$a^2 + 5 \ge 4(a - 1)$.

Раскроем скобки в правой части:

$a^2 + 5 \ge 4a - 4$.

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$a^2 + 5 - 4a + 4 \ge 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 4a + 9 \ge 0$.

Теперь выделим полный квадрат в левой части. Для этого представим 9 как $4+5$.

$(a^2 - 4a + 4) + 5 \ge 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Неравенство принимает вид: $(a-2)^2 + 5 \ge 0$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a-2)^2 \ge 0$.

Сумма неотрицательного числа $(a-2)^2$ и положительного числа 5 всегда будет положительной:

$(a-2)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.

Поскольку $5 > 0$, то неравенство $(a-2)^2 + 5 \ge 0$ справедливо для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.