Номер 8, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 1. Числовые неравенства - номер 8, страница 7.

Условие.

8. Сравните с нулём значение выражения.

1) $a^3 - 4a^2 + 3a - 12$, если $a \ge 4$.

Решение.

Имеем: $a^3 - 4a^2 + 3a - 12 = a^2(a - 4) + 3(a - 4) = (a - 4)(a^2 + 3)$.

Поскольку $a \ge 4$, то $a - 4 \ge 0$.

При любом значении $a$ значение выражения $a^2 + 3$ является _____ числом.

Следовательно, при $a \ge 4$ произведение $(a - 4)(a^2 + 3) \ge 0$. Отсюда следует, что

$a^3 - 4a^2 + 3a - 12 \ge 0$ при $a \ge 4$.

2) $\frac{2a^2 + 2}{3} - \frac{a^2 + a + 2}{6} - \frac{4a^2 + a}{9}$, если $2 < a < 3$.

Решение.

Упростим данное выражение:

$\frac{2a^2 + 2}{3} - \frac{a^2 + a + 2}{6} - \frac{4a^2 + a}{9} = $

Решение.

1)

Сравним с нулем значение выражения $a^3 - 4a^2 + 3a - 12$, если $a \ge 4$.

Решение.

Разложим выражение на множители, используя метод группировки:

$a^3 - 4a^2 + 3a - 12 = a^2(a - 4) + 3(a - 4) = (a - 4)(a^2 + 3)$.

Теперь оценим знак каждого из множителей при заданном условии $a \ge 4$.

Поскольку $a \ge 4$, то первый множитель $(a - 4)$ будет неотрицательным, то есть $a - 4 \ge 0$.

Второй множитель $(a^2 + 3)$ всегда является положительным числом при любом действительном значении $a$, так как $a^2 \ge 0$, а значит $a^2 + 3 > 0$.

Произведение неотрицательного множителя $(a - 4)$ и положительного множителя $(a^2 + 3)$ будет неотрицательным числом.

Следовательно, при $a \ge 4$ произведение $(a - 4)(a^2 + 3) \ge 0$.

Отсюда следует, что исходное выражение $a^3 - 4a^2 + 3a - 12 \ge 0$. Оно равно нулю при $a=4$ и больше нуля при $a>4$.

Ответ: $a^3 - 4a^2 + 3a - 12 \ge 0$.

2)

Сравним с нулем значение выражения $\frac{2a^2 + 2}{3} - \frac{a^2 + a + 2}{6} - \frac{4a^2 + a}{9}$, если $2 < a < 3$.

Решение.

Сначала упростим данное выражение, приведя все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 6 и 9 равен 18.

$\frac{2a^2 + 2}{3} - \frac{a^2 + a + 2}{6} - \frac{4a^2 + a}{9} = \frac{6 \cdot (2a^2 + 2)}{18} - \frac{3 \cdot (a^2 + a + 2)}{18} - \frac{2 \cdot (4a^2 + a)}{18}$

Объединим дроби:

$\frac{6(2a^2 + 2) - 3(a^2 + a + 2) - 2(4a^2 + a)}{18} = \frac{12a^2 + 12 - 3a^2 - 3a - 6 - 8a^2 - 2a}{18}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(12a^2 - 3a^2 - 8a^2) + (-3a - 2a) + (12 - 6)}{18} = \frac{a^2 - 5a + 6}{18}$

Теперь нужно определить знак полученного выражения $\frac{a^2 - 5a + 6}{18}$ при условии $2 < a < 3$.

Знаменатель 18 является положительным числом, поэтому знак всего выражения определяется знаком числителя $a^2 - 5a + 6$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $y = a^2 - 5a + 6$. Его график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$. По теореме Виета или путем разложения на множители получаем:

$(a - 2)(a - 3) = 0$

Корни уравнения: $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения квадратного трехчлена отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, для любого $a$ из интервала $(2; 3)$ выполняется неравенство $a^2 - 5a + 6 < 0$.

Так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то вся дробь $\frac{a^2 - 5a + 6}{18}$ будет отрицательна.

Ответ: $\frac{2a^2 + 2}{3} - \frac{a^2 + a + 2}{6} - \frac{4a^2 + a}{9} < 0$.