Номер 9, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 1. Числовые неравенства - номер 9, страница 8.

Условие.

9. Докажите, что для всех $a \ge 0$ выполняется неравенство $\sqrt{a} \le a + \frac{1}{4}$.

Решение.

Решение.

Решение.

Требуется доказать, что для всех $a \ge 0$ выполняется неравенство $\sqrt{a} \le a + \frac{1}{4}$.

Для доказательства выполним равносильные преобразования. Перенесём $\sqrt{a}$ в правую часть неравенства:

$0 \le a - \sqrt{a} + \frac{1}{4}$

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом. Действительно, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, мы можем представить правую часть следующим образом:

$a - \sqrt{a} + \frac{1}{4} = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (\sqrt{a} - \frac{1}{2})^2$

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$0 \le (\sqrt{a} - \frac{1}{2})^2$

Поскольку по условию $a \ge 0$, то $\sqrt{a}$ является действительным числом. Разность $\sqrt{a} - \frac{1}{2}$ также является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.

Следовательно, неравенство $(\sqrt{a} - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ верно для всех допустимых значений $a$. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\sqrt{a} \le a + \frac{1}{4}$ верно для всех $a \ge 0$.

Ответ: Неравенство доказано.