Номер 6, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 2. Основные свойства числовых неравенств - номер 6, страница 10.

Условие.

6. Известно, что $a$ и $b$ - положительные числа и $a < b$. Отметьте в пустой клетке знаком ✓ верное утверждение.

1) $\frac{2}{a} > \frac{2}{b}$ ☐

2) $\frac{2}{a} < \frac{2}{b}$ ☐

3) $\frac{2}{a} = \frac{2}{b}$ ☐

4) сравнить $\frac{2}{a}$ и $\frac{2}{b}$ невозможно ☐

Решение.

По условию задачи известно, что $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$) и $a < b$. Требуется сравнить дроби $\frac{2}{a}$ и $\frac{2}{b}$ и выбрать верное утверждение.

Воспользуемся свойством неравенств: если обе части неравенства, в котором состоят положительные числа, заменить на обратные им числа, то знак неравенства изменится на противоположный.

Так как $a < b$ и оба числа положительны, то для их обратных величин будет справедливо неравенство:

$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

Теперь умножим обе части этого неравенства на положительное число 2. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется:

$2 \cdot \frac{1}{a} > 2 \cdot \frac{1}{b}$

$\frac{2}{a} > \frac{2}{b}$

Проанализируем предложенные варианты на основе полученного результата.

1) $\frac{2}{a} > \frac{2}{b}$

Данное утверждение совпадает с нашим выводом. Следовательно, оно верное.

Ответ: Утверждение верное.

2) $\frac{2}{a} < \frac{2}{b}$

Данное утверждение противоречит нашему выводу, что $\frac{2}{a} > \frac{2}{b}$. Следовательно, оно неверное.

Ответ: Утверждение неверное.

3) $\frac{2}{a} = \frac{2}{b}$

Это равенство возможно только в том случае, если $a = b$, что противоречит условию задачи $a < b$. Следовательно, утверждение неверное.

Ответ: Утверждение неверное.

4) сравнить $\frac{2}{a}$ и $\frac{2}{b}$ невозможно

Мы смогли однозначно сравнить дроби и установили, что $\frac{2}{a} > \frac{2}{b}$. Следовательно, это утверждение неверное.

Ответ: Утверждение неверное.