Номер 7, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 2. Основные свойства числовых неравенств - номер 7, страница 10.

Условие.

7. Известно, что $a$ и $b$ – положительные числа и $a > b$. Отметьте в пустой клетке знаком ✓ верное утверждение.

1) $\frac{1}{a} > \frac{2}{b}$ []

2) $\frac{1}{a} < \frac{2}{b}$ []

3) $\frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ []

4) сравнить $\frac{1}{a}$ и $\frac{2}{b}$ невозможно []

Решение.

По условию задачи даны два положительных числа $a$ и $b$, для которых выполняется неравенство $a > b$. Требуется сравнить дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{2}{b}$ и выбрать верное утверждение.

Чтобы сравнить эти две дроби, мы можем преобразовать их к общему знаменателю или избавиться от знаменателей. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, их произведение $ab$ также будет положительным ($ab > 0$). Умножим сравниваемые выражения на $ab$. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется. Таким образом, задача сравнения $\frac{1}{a}$ и $\frac{2}{b}$ эквивалентна задаче сравнения $b$ и $2a$.

Сравним $b$ и $2a$, используя исходные данные:

1. Из условия задачи имеем $a > b$.

2. Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), очевидно, что $a + a > a$, то есть $2a > a$.

3. Объединив неравенства $2a > a$ и $a > b$, получаем цепочку неравенств: $2a > a > b$.

4. Из этой цепочки напрямую следует, что $2a > b$, или, что то же самое, $b < 2a$.

Итак, мы доказали, что при заданных условиях всегда выполняется неравенство $b < 2a$. Теперь вернемся к исходным дробям. Разделим обе части неравенства $b < 2a$ на положительное число $ab$:

$\frac{b}{ab} < \frac{2a}{ab}$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{1}{a} < \frac{2}{b}$

Это означает, что утверждение под номером 2 является верным. Проанализируем все варианты.

1) $\frac{1}{a} > \frac{2}{b}$

Это неравенство после умножения на $ab$ превращается в $b > 2a$. Как мы показали выше, из условия $a > b > 0$ следует, что $b < 2a$. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

2) $\frac{1}{a} < \frac{2}{b}$

Это неравенство эквивалентно неравенству $b < 2a$. Как было доказано в основном решении, это утверждение всегда верно при заданных условиях. Следовательно, это утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) $\frac{1}{a} = \frac{2}{b}$

Это равенство эквивалентно $b = 2a$. Однако из $a > b$ и $a > 0$ следует, что $2a = a+a > b+a > b$, то есть $2a > b$. Значит, равенство невозможно. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) сравнить $\frac{1}{a}$ и $\frac{2}{b}$ невозможно

Мы смогли провести сравнение и однозначно установили, что $\frac{1}{a} < \frac{2}{b}$. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.