Номер 10, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 10, страница 49.

Условие.

10. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 56 мин раньше, чем велосипедист в город А, а встретились они через 21 мин после выезда. Сколько часов затратил велосипедист на путь из В в А?

Решение.

Пусть велосипедист проезжает расстояние между городами А и В за $t_1$ мин, а мотоциклист — за $t_2$ мин. Тогда $t_1 - t_2 = $

Примем расстояние между городами за 1. За 1 мин мотоциклист проезжает $\frac{1}{t_2}$ часть расстояния между А и В, а велосипедист —

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть велосипедист проезжает расстояние между городами А и В за $t_1$ минут, а мотоциклист — за $t_2$ минут.

Из условия задачи известно, что мотоциклист приехал в город В на 56 минут раньше, чем велосипедист в город А. Это означает, что время в пути велосипедиста на 56 минут больше, чем время мотоциклиста. Запишем это в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = 56$

Примем всё расстояние между городами за 1 условную единицу. Тогда скорость велосипедиста равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (частей расстояния в минуту), а скорость мотоциклиста — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (частей расстояния в минуту).

Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$.

Они встретились через 21 минуту после выезда. За это время они вместе преодолели всё расстояние, равное 1. Время до встречи можно найти, разделив расстояние на скорость сближения: $t_{встр} = \frac{1}{v_{сбл}}$.

Подставим известные значения:

$21 = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}$

Отсюда получаем второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{21}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_1 - t_2 = 56 \\ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{21} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $t_2$: $t_2 = t_1 - 56$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 56} = \frac{1}{21}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{(t_1 - 56) + t_1}{t_1(t_1 - 56)} = \frac{1}{21}$

$\frac{2t_1 - 56}{t_1^2 - 56t_1} = \frac{1}{21}$

Используя основное свойство пропорции («крест-накрест»), получим:

$21(2t_1 - 56) = 1 \cdot (t_1^2 - 56t_1)$

$42t_1 - 1176 = t_1^2 - 56t_1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t_1^2 - 56t_1 - 42t_1 + 1176 = 0$

$t_1^2 - 98t_1 + 1176 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-98)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1176 = 9604 - 4704 = 4900 = 70^2$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:

$t_{1,1} = \frac{-(-98) + \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{98 + 70}{2} = \frac{168}{2} = 84$

$t_{1,2} = \frac{-(-98) - \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{98 - 70}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Теперь необходимо проверить, какой из корней подходит по смыслу задачи. Вспомним, что $t_1$ — это время велосипедиста.

Если $t_1 = 14$ минут, то время мотоциклиста $t_2 = t_1 - 56 = 14 - 56 = -42$ минуты. Время не может быть отрицательным, следовательно, этот корень не является решением задачи.

Если $t_1 = 84$ минуты, то время мотоциклиста $t_2 = t_1 - 56 = 84 - 56 = 28$ минут. Оба значения положительны, что соответствует условию. Этот корень является решением.

Таким образом, велосипедист затратил на путь 84 минуты.

В вопросе задачи требуется указать время в часах. Переведем 84 минуты в часы:

$84 \text{ мин} = \frac{84}{60} \text{ ч} = 1,4 \text{ ч}$

Ответ: 1,4 часа.