Номер 4, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 4, страница 43.

Условие.

4. Расстояние между двумя пристанями на реке, равное 45 км, катер проходит туда и обратно за 3 ч 45 мин, а 60 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем 60 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение.

Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению равна $(x+y)$ км/ч, а против течения — $(x-y)$ км/ч.

45 км по течению реки катер проходит за $\frac{45}{x+y}$ ч, а против течения — за $\frac{45}{x-y}$ ч.

Поскольку весь путь между пристанями туда и обратно катер проходит за 3 ч 45 мин $= 3\frac{45}{60}$ ч $= \frac{15}{4}$ ч,

то можем записать уравнение

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $(x+y)$ км/ч, а против течения — $(x-y)$ км/ч.

Время, затраченное на путь 45 км по течению, равно $\frac{45}{x+y}$ ч. Время, затраченное на путь 45 км против течения, равно $\frac{45}{x-y}$ ч. Поскольку весь путь между пристанями туда и обратно катер проходит за 3 ч 45 мин, что составляет $3 + \frac{45}{60} = 3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ часа, можем составить первое уравнение:

$\frac{45}{x+y} + \frac{45}{x-y} = \frac{15}{4}$

Из второго условия задачи известно, что 60 км по течению реки катер проходит на 1 час быстрее, чем 60 км против течения. Время движения на 60 км по течению составляет $\frac{60}{x+y}$ ч, а против течения — $\frac{60}{x-y}$ ч. Это означает, что разница во времени составляет 1 час. Составим второе уравнение:

$\frac{60}{x-y} - \frac{60}{x+y} = 1$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$ \begin{cases} \frac{45}{x+y} + \frac{45}{x-y} = \frac{15}{4} \\ \frac{60}{x-y} - \frac{60}{x+y} = 1 \end{cases}$$

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x+y}$ и $v = \frac{1}{x-y}$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} 45u + 45v = \frac{15}{4} \\ 60v - 60u = 1 \end{cases}$$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 45:

$u + v = \frac{15}{4 \cdot 45} \implies u + v = \frac{1}{12}$

Отсюда выразим $v$: $v = \frac{1}{12} - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$60(\frac{1}{12} - u) - 60u = 1$

$\frac{60}{12} - 60u - 60u = 1$

$5 - 120u = 1$

$120u = 4$

$u = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}$

Теперь найдем $v$:

$v = \frac{1}{12} - u = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x+y} = \frac{1}{30} \implies x+y = 30$

$v = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{20} \implies x-y = 20$

Получили новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 30 \\ x-y = 20 \end{cases}$$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 30 + 20$

$2x = 50$

$x = 25$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение $x+y=30$:

$25 + y = 30$

$y = 5$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 25 км/ч, а скорость течения реки — 5 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 25 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч.