Номер 5, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 5, страница 44.

Условие.

5. От двух станций, расстояние между которыми равно 270 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 3 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 1 ч 21 мин больше другого.

Решение.

Пусть скорость одного поезда равна $x$ км/ч, а другого — $y$ км/ч.

За 3 ч первый поезд проехал $3x$ км, а второй — $3y$ км.

Поскольку через 3 ч поезда встретились, проехав вместе 270 км, то можем записать уравнение

Расстояние, равное 270 км, первый поезд проходит за ч, а второй — за ч. Поскольку первый поезд потратил на путь между станциями на 1 ч 21 мин = $1 \frac{21}{60} = $ ч больше, чем второй, то можем записать уравнение

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть скорость одного поезда равна $x$ км/ч, а другого — $y$ км/ч.

За 3 часа первый поезд проехал расстояние $S_1 = 3x$ км, а второй поезд — $S_2 = 3y$ км.

Поскольку поезда отправились одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа, то суммарное расстояние, которое они проехали, равно расстоянию между станциями, то есть 270 км. Отсюда получаем первое уравнение:

$3x + 3y = 270$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x + y = 90$

Время, которое первый поезд потратил бы на весь путь в 270 км, составляет $t_1 = \frac{270}{x}$ ч. Время, которое потратил бы второй поезд, составляет $t_2 = \frac{270}{y}$ ч.

По условию, один из них потратил на путь на 1 ч 21 мин больше другого. Переведем эту разницу во времени в часы:

$1$ ч $21$ мин $= 1 + \frac{21}{60}$ ч $= 1 + \frac{7}{20}$ ч $= \frac{20}{20} + \frac{7}{20} = \frac{27}{20}$ ч.

Предположим, что первый поезд медленнее, то есть его время $t_1$ больше времени $t_2$. Тогда мы можем составить второе уравнение:

$\frac{270}{x} - \frac{270}{y} = \frac{27}{20}$

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 90 \\ \frac{270}{x} - \frac{270}{y} = \frac{27}{20} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 90 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{270}{x} - \frac{270}{90 - x} = \frac{27}{20}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 27:

$\frac{10}{x} - \frac{10}{90 - x} = \frac{1}{20}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{10(90 - x) - 10x}{x(90 - x)} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 10x - 10x}{90x - x^2} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 20x}{90x - x^2} = \frac{1}{20}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$20(900 - 20x) = 1(90x - x^2)$

$18000 - 400x = 90x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 90x - 400x + 18000 = 0$

$x^2 - 490x + 18000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$.

Теперь найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Проверим оба корня. Если $x_1 = 450$ км/ч, то скорость второго поезда будет $y = 90 - 450 = -360$ км/ч, что физически невозможно, так как скорость не может быть отрицательной.
Если $x_2 = 40$ км/ч, то скорость второго поезда будет $y = 90 - 40 = 50$ км/ч. Оба значения положительны и подходят по условию задачи.

Таким образом, скорости поездов равны 40 км/ч и 50 км/ч.

Ответ: скорость одного поезда 40 км/ч, скорость другого поезда 50 км/ч.