Номер 7, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 7, страница 35.

Условие.

7. Решите систему уравнений:

1) $( \begin{cases} 2x - 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases} )$

Решение.

Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:

Выразив из полученного уравнения переменную y через переменную x, подставим полученное выражение вместо y в первое уравнение данной системы:

Ответ:

2) $( \begin{cases} xy + x = 1 \\ xy - 3y = 0,5 \end{cases} )$

Решение. Ответ:

3) $( \begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 - 3y^2 = 25 \end{cases} )$

Решение.

Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:

Ответ:

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 5xy = 18 \\ y + 5xy = -16 \end{cases} $

Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:

$(2x - 5xy) + (y + 5xy) = 18 + (-16)$

$2x + y = 2$

Выразив из полученного уравнения переменную $y$ через переменную $x$, подставим полученное выражение вместо $y$ в первое уравнение данной системы:

$y = 2 - 2x$

Подставляем в первое уравнение $2x - 5xy = 18$:

$2x - 5x(2 - 2x) = 18$

$2x - 10x + 10x^2 = 18$

$10x^2 - 8x - 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$5x^2 - 4x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{18}{10} = 1.8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2 - 2x$:

Для $x_1 = 1.8$:

$y_1 = 2 - 2(1.8) = 2 - 3.6 = -1.6$

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1.8; -1.6), (-1; 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x = 1 \\ xy - 3y = 0.5 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $xy$:

$(xy + x) - (xy - 3y) = 1 - 0.5$

$xy + x - xy + 3y = 0.5$

$x + 3y = 0.5$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 0.5 - 3y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение исходной системы $xy + x = 1$:

$(0.5 - 3y)y + (0.5 - 3y) = 1$

$0.5y - 3y^2 + 0.5 - 3y = 1$

$-3y^2 - 2.5y + 0.5 - 1 = 0$

$-3y^2 - 2.5y - 0.5 = 0$

Умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от десятичных дробей и отрицательного знака при старшем члене:

$6y^2 + 5y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 0.5 - 3y$:

Для $y_1 = -1/3$:

$x_1 = 0.5 - 3(-\frac{1}{3}) = 0.5 + 1 = 1.5$

Для $y_2 = -1/2$:

$x_2 = 0.5 - 3(-\frac{1}{2}) = 0.5 + 1.5 = 2$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1.5; -1/3), (2; -1/2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x^2 + 3y^2 = 31 \\ 7x^2 - 3y^2 = 25 \end{cases} $

Сложив почленно левые и правые части уравнений, получаем:

$(7x^2 + 3y^2) + (7x^2 - 3y^2) = 31 + 25$

$14x^2 = 56$

Разделим обе части на 14:

$x^2 = \frac{56}{14}$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставим $x^2 = 4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$7(4) + 3y^2 = 31$

$28 + 3y^2 = 31$

$3y^2 = 31 - 28$

$3y^2 = 3$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Так как переменные входят в уравнения в квадрате, любое значение $x$ может сочетаться с любым значением $y$. Таким образом, мы имеем четыре пары решений:

• $(2; 1)$
• $(2; -1)$
• $(-2; 1)$
• $(-2; -1)$

Ответ: $(2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)$.