Номер 1, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 1, страница 24.

Условие.

Решаем задачи

1. Решите графически систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 + y = 0, \\ xy = 8; \end{cases}$

Решение.

Первое уравнение системы равносильно такому: $y = -x^2$. Его графиком является _______, ветви которой направлены _______, с вершиной в точке (_______; _______).

Второе уравнение равносильно такому: $y = \_\_\_\_\_\_\_\_$. Его графиком является _______.

Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в точке с координатами (_______; _______).

Проведём проверку.

_______

_______

_______

_______

Ответ: _______

2)

$\begin{cases} x^2 - y - 6 = 0, \\ x + y = 0; \end{cases}$

Решение.

_______

_______

_______

_______

_______

_______

_______

Ответ: _______

3)

$\begin{cases} x^2 - y - 3 = 0, \\ x^2 + y + 1 = 0; \end{cases}$

Решение.

_______

_______

_______

_______

_______

_______

_______

Ответ: _______

4)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - 1 = \sqrt{x}. \end{cases}$

Решение.

_______

_______

_______

_______

_______

_______

_______

Ответ: _______

Решение.

1)

Решение.

Преобразуем уравнения системы. Из первого уравнения $x^2 + y = 0$ получаем $y = -x^2$. Из второго уравнения $xy = 8$ получаем $y = \frac{8}{x}$ (при $x \ne 0$).

Графиком функции $y = -x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0; 0).

Графиком функции $y = \frac{8}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Построим в одной системе координат графики данных функций. Для параболы $y = -x^2$ возьмем точки (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4). Для гиперболы $y = \frac{8}{x}$ возьмем точки (1; 8), (2; 4), (4; 2), (-1; -8), (-2; -4), (-4; -2).

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами (-2; -4).

Проведём проверку. Подставим значения $x = -2$ и $y = -4$ в исходную систему:

Первое уравнение: $(-2)^2 + (-4) = 4 - 4 = 0$.

Второе уравнение: $(-2) \cdot (-4) = 8$.

Оба равенства верны. Решение найдено правильно.

Ответ: (-2; -4).

2)

Решение.

Преобразуем уравнения системы к виду функций. Первое уравнение $x^2 - y - 6 = 0$ принимает вид $y = x^2 - 6$. Второе уравнение $x + y = 0$ принимает вид $y = -x$.

Графиком первого уравнения $y = x^2 - 6$ является парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 6 единиц вниз. Вершина параболы находится в точке (0; -6), ветви направлены вверх.

Графиком второго уравнения $y = -x$ является прямая, проходящая через начало координат и точки (1; -1), (-1; 1).

Построим графики в одной системе координат. Точками пересечения являются (-3; 3) и (2; -2).

Проведём проверку.

Для точки (-3; 3):

Первое уравнение: $(-3)^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.

Второе уравнение: $-3 + 3 = 0$.

Равенства верны.

Для точки (2; -2):

Первое уравнение: $2^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$.

Второе уравнение: $2 + (-2) = 0$.

Равенства верны.

Ответ: (-3; 3), (2; -2).

3)

Решение.

Преобразуем уравнения системы. Из первого уравнения $x^2 - y - 3 = 0$ получаем $y = x^2 - 3$. Из второго уравнения $x^2 + y + 1 = 0$ получаем $y = -x^2 - 1$.

Графиком уравнения $y = x^2 - 3$ является парабола с вершиной в точке (0; -3) и ветвями, направленными вверх.

Графиком уравнения $y = -x^2 - 1$ является парабола с вершиной в точке (0; -1) и ветвями, направленными вниз.

Построим оба графика в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках: (-1; -2) и (1; -2).

Проведём проверку.

Для точки (-1; -2):

Первое уравнение: $(-1)^2 - (-2) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Второе уравнение: $(-1)^2 + (-2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Равенства верны.

Для точки (1; -2):

Первое уравнение: $1^2 - (-2) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

Второе уравнение: $1^2 + (-2) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Равенства верны.

Ответ: (-1; -2), (1; -2).

4)

Решение.

Рассмотрим уравнения системы. Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Второе уравнение: $y - 1 = \sqrt{x}$.

Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ задает окружность с центром в начале координат (0; 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение преобразуем к виду $y = \sqrt{x} + 1$. Графиком является ветвь параболы $x = (y-1)^2$, расположенная в полуплоскости $y \ge 1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вверх по оси Oy. Область определения: $x \ge 0$.

Построим графики в одной системе координат. Окружность проходит через точки (5; 0), (0; 5), (-5; 0), (0; -5). График функции $y = \sqrt{x} + 1$ начинается в точке (0; 1) и проходит через точки (1; 2), (4; 3).

Из графика видно, что кривые пересекаются в одной точке (4; 3).

Проведём проверку.

Для точки (4; 3):

Первое уравнение: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

Второе уравнение: $3 - 1 = \sqrt{4}$, что равносильно $2 = 2$.

Равенства верны.

Ответ: (4; 3).