Номер 19, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 19, страница 23.

Условие.

19. При каких значениях a неравенство $3x^2 + ax - a > 0$ выполняется при всех действительных значениях x?

Решение.

Если квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает только положительные значения, то её график схематически имеет такой вид:

Ответ:

Решение.

Решение.

Неравенство $3x^2 + ax - a > 0$ должно выполняться при всех действительных значениях $x$.

Рассмотрим функцию $y = 3x^2 + ax - a$. Графиком этой функции является парабола. Неравенство $y > 0$ для всех $x$ означает, что вся парабола должна быть расположена выше оси абсцисс (оси $Ox$).

Для этого должны выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это определяется знаком коэффициента при $x^2$. В нашем случае он равен 3. Так как $3 > 0$, это условие выполняется всегда.

2. Парабола не должна пересекать ось $Ox$, то есть квадратное уравнение $3x^2 + ax - a = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что дискриминант ($D$) этого уравнения должен быть отрицательным.

Найдем дискриминант. Для уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае $A=3$, $B=a$, $C=-a$.
$D = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-a) = a^2 + 12a$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:
$a^2 + 12a < 0$

Вынесем $a$ за скобки:
$a(a + 12) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $a(a+12)=0$. Корни: $a_1 = 0$ и $a_2 = -12$.

Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $a(a+12)$ в каждом из интервалов.

Неравенство $a(a+12) < 0$ выполняется в интервале между корнями, то есть при $-12 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-12; 0)$.