Номер 13, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 13, страница 13.

Условие.

13. При каких значениях a уравнение $x^2 + ax + 2a = 0$ имеет хотя бы один корень?

Решение.

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Имеем: $D = $

Ответ:

Решение.

Решение.

Данное уравнение $x^2 + ax + 2a = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень (один или два), если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

Общая формула для квадратного уравнения: $Ax^2 + Bx + C = 0$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=a$, $C=2a$.

Дискриминант вычисляется по формуле: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим наши коэффициенты в формулу:

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a) = a^2 - 8a$.

Теперь решим неравенство $D \ge 0$ относительно переменной $a$:

$a^2 - 8a \ge 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 8a = 0$.

Вынесем $a$ за скобки:

$a(a - 8) = 0$

Корнями уравнения являются $a_1 = 0$ и $a_2 = 8$.

Парабола $y = a^2 - 8a$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $a^2$ положителен). Следовательно, выражение $a^2 - 8a$ принимает неотрицательные значения при $a$, находящихся за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $a \le 0$ или $a \ge 8$.

В виде промежутков это записывается как $a \in (-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.