Номер 6, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 6, страница 5.

Условие.

6. Решите неравенство:

1) $x^2 - 3x - 4 > 0$;

Решение.

Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 3x - 4$:

$x^2 - 3x - 4 = 0$;

$x_1 = -1, x_2 = 4.$

Изобразим схематично график функции $y = x^2 - 3x - 4$ и отметим множество решений данного неравенства:

Ответ:

2) $-x^2 + 3x - 2 > 0$;

Решение.

Ответ:

3) $4x^2 - 9x - 9 \le 0$;

Решение.

Ответ:

4) $5x^2 - 4x + 1 > 0$;

Решение.

Ответ:

5) $2x^2 - 3x + 4 < 0$;

Решение.

Ответ:

6) $7x^2 \le 35x$;

Решение.

Имеем: $7x^2 - 35x \le 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $7x^2 - 35x$:

$7x^2 - 35x = 0$;

$7x(x - 5) = 0$;

$x_1 = 0, x_2 = 5.$

Изобразим схематично график функции $y = 7x^2 - 35x$:

Ответ:

7) $2x^2 - x - 2 \le 0$;

Решение.

Ответ:

8) $x^2 \ge 10$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $x^2 - 3x - 4 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: произведение корней равно -4, а их сумма равна 3. Подбором находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3x - 4$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 4$. Неравенство $y > 0$ выполняется там, где график функции находится выше оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) $-x^2 + 3x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $-x^2 + 3x - 2 = 0$. Для удобства умножим уравнение на -1: $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета: произведение корней равно 2, сумма корней равна 3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. График функции $y = -x^2 + 3x - 2$ — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 2$. Неравенство $y > 0$ выполняется там, где график находится выше оси Ox. Для параболы с ветвями вниз это происходит между корнями. Следовательно, решение неравенства: $x \in (1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

3) $4x^2 - 9x - 9 \le 0$

Решим уравнение $4x^2 - 9x - 9 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225$. Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 15}{8}$. $x_1 = \frac{9 - 15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$. $x_2 = \frac{9 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$. График функции $y = 4x^2 - 9x - 9$ — парабола с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Неравенство $y \le 0$ выполняется там, где график находится ниже или на оси Ox. Для параболы с ветвями вверх это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [-\frac{3}{4}; 3]$.

Ответ: $[-\frac{3}{4}; 3]$.

4) $5x^2 - 4x + 1 > 0$

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 - 4x + 1$. Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 4x + 1 = 0$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что значение выражения $5x^2 - 4x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

5) $2x^2 - 3x + 4 < 0$

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3x + 4$. Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - 3x + 4 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх. Парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, значит, вся парабола лежит выше оси Ox. Следовательно, выражение $2x^2 - 3x + 4$ всегда положительно. Неравенство $2x^2 - 3x + 4 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

6) $7x^2 \le 35x$

Перенесем все члены неравенства в одну сторону: $7x^2 - 35x \le 0$. Найдем корни уравнения $7x^2 - 35x = 0$. Вынесем общий множитель $7x$ за скобки: $7x(x - 5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. График функции $y = 7x^2 - 35x$ — парабола с ветвями вверх ($a=7 > 0$). Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями (включая концы). Решение: $x \in [0; 5]$.

Ответ: $[0; 5]$.

7) $2x^2 - x - 2 \le 0$

Решим уравнение $2x^2 - x - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$. Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$. $x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$. График функции $y = 2x^2 - x - 2$ — парабола с ветвями вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [\frac{1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{1 + \sqrt{17}}{4}]$.

Ответ: $[\frac{1 - \sqrt{17}}{4}; \frac{1 + \sqrt{17}}{4}]$.

8) $x^2 \ge 10$

Перепишем неравенство в виде $x^2 - 10 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 10 = 0$. $x^2 = 10 \implies x = \pm\sqrt{10}$. Корни: $x_1 = -\sqrt{10}$, $x_2 = \sqrt{10}$. График функции $y = x^2 - 10$ — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда график находится выше или на оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$.