Номер 8, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 8, страница 8.

Условие.

8. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке, записав в ответ номер этого неравенства.

1) $x^2 - 25 \le 0$

2) $x^2 - 5x \ge 0$

3) $x^2 - 25 \ge 0$

4) $x^2 - 5x \le 0$

Ответ: ________

Решение.

На рисунке изображено множество решений, которое представляет собой объединение двух промежутков: $x \le 0$ и $x \ge 5$. В виде множества это можно записать как $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$. Точки 0 и 5 включены в решение, так как на числовой прямой они обозначены закрашенными точками. Проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы найти соответствующее.

1) $x^2 - 25 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни уравнения $x^2 - 25 = 0$. Разложим на множители: $(x-5)(x+5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями (включая концы). Таким образом, решение этого неравенства — отрезок $[-5, 5]$. Это не соответствует множеству, изображенному на рисунке.

2) $x^2 - 5x \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 5x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится выше оси абсцисс или пересекает ее, то есть вне отрезка между корнями. Таким образом, решением является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$. Это в точности совпадает с множеством, изображенным на рисунке.

3) $x^2 - 25 \ge 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 25 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы $y = x^2 - 25$ направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями. Множество решений: $(-\infty, -5] \cup [5, \infty)$. Это не соответствует рисунку, так как левая граница промежутка равна -5, а не 0.

4) $x^2 - 5x \le 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы $y = x^2 - 5x$ направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями. Множество решений: $[0, 5]$. Это не соответствует множеству, изображенному на рисунке.

Таким образом, единственное неравенство, множество решений которого изображено на рисунке, — это $x^2 - 5x \ge 0$, которое находится под номером 2.

Ответ: 2