Номер 10, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 10, страница 11.

Условие.

10. Сколько целых решений имеет неравенство $(3x - 8)(3x + 8) \le 6x - 40$?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Дано неравенство:

$(3x - 8)(3x + 8) \le 6x - 40$

В левой части неравенства применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(3x)^2 - 8^2 \le 6x - 40$

$9x^2 - 64 \le 6x - 40$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное неравенство вида $ax^2 + bx + c \le 0$:

$9x^2 - 6x - 64 + 40 \le 0$

$9x^2 - 6x - 24 \le 0$

Для упрощения разделим обе части неравенства на 3, так как все коэффициенты делятся на 3:

$3x^2 - 2x - 8 \le 0$

Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 8 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Графиком функции $y = 3x^2 - 2x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 3) положителен. Неравенство $3x^2 - 2x - 8 \le 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-\frac{4}{3}; 2]$.

Теперь необходимо найти количество целых решений, принадлежащих этому промежутку. Преобразуем $-\frac{4}{3}$ в смешанную дробь: $-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.

Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие условию $-1\frac{1}{3} \le x \le 2$.

Такими числами являются: -1, 0, 1, 2.

Всего целых решений — 4.

Ответ: 4