Номер 15, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 15, страница 14.

Условие.

15. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 6x - 16 < 0, \\ 4x + 12 \le 0; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

2) $\begin{cases} x^2 + 2x - 15 \le 0, \\ x^2 + 3x > 0. \end{cases}$

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 6x - 16 < 0, \\ 4x + 12 \le 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим квадратное неравенство $x^2 + 6x - 16 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Используем теорему Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -6 \\ x_1 \cdot x_2 = -16 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -8$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-8; 2)$.

2. Решим линейное неравенство $4x + 12 \le 0$.

$4x \le -12$

$x \le -3$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-8; 2) \cap (-\infty; -3]$.

Общим решением системы является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям, то есть $x$ должен быть больше -8 и одновременно меньше или равен -3.

Решение системы: $-8 < x \le -3$.

Ответ: $x \in (-8; -3]$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 15 \le 0, \\ x^2 + 3x > 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим квадратное неравенство $x^2 + 2x - 15 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

По теореме Виета:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -15 \end{cases} $

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх, поэтому значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями (включая концы).

Решение первого неравенства: $x \in [-5; 3]$.

2. Решим квадратное неравенство $x^2 + 3x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x + 3) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $x(x + 3) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x$ направлены вверх, поэтому значения функции больше нуля вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-5; 3] \cap ((-\infty; -3) \cup (0; \infty))$.

Для этого найдем пересечение отрезка $[-5; 3]$ с каждым из интервалов $(-\infty; -3)$ и $(0; \infty)$, а затем объединим результаты.

a) $[-5; 3] \cap (-\infty; -3) = [-5; -3)$

б) $[-5; 3] \cap (0; \infty) = (0; 3]$

Объединяя полученные промежутки, получаем решение системы.

Ответ: $x \in [-5; -3) \cup (0; 3]$.