Номер 2, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 2, страница 26.

Условие.

2. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - y = 1; \end{cases}$

Решение.

Выразим из первого уравнения

переменную y через переменную x и подставим полученное

выражение во второе уравнение:

Ответ:

2) $\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12; \end{cases}$

Решение.

Выразим из первого уравнения

переменную x через переменную y и подставим полученное

выражение во второе уравнение:

Ответ:

3) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ xy - 3y = -2; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

4) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14, \\ 2x - y = 8; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

Решение.

1)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 - y = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $y$: $y = 5 - x$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$x^2 - (5 - x) = 1$
$x^2 + x - 5 = 1$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим корни:
$x_1 = 2$
$x_2 = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.
Ответ: (2; 3), (-3; 8).

2)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - y = 4 \\ xy = 12 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $x$: $x = 4 + y$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$(4 + y)y = 12$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим корни:
$y_1 = 2$
$y_2 = -6$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 4 + 2 = 6$.
Если $y_2 = -6$, то $x_2 = 4 + (-6) = -2$.
Ответ: (6; 2), (-2; -6).

3)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ xy - 3y = -2 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $x$: $x = 3 - 2y$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$(3 - 2y)y - 3y = -2$
$3y - 2y^2 - 3y = -2$
$-2y^2 = -2$
$y^2 = 1$
Отсюда находим значения $y$:
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 - 2(1) = 1$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 - 2(-1) = 5$.
Ответ: (1; 1), (5; -1).

4)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим переменную $y$: $y = 2x - 8$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$2x^2 - (2x - 8)^2 = 14$
$2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 14$
$2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 14$
$-2x^2 + 32x - 78 = 0$
Разделим уравнение на $-2$: $x^2 - 16x + 39 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 39 = 256 - 156 = 100$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{16 \pm 10}{2}$
$x_1 = \frac{16 + 10}{2} = 13$
$x_2 = \frac{16 - 10}{2} = 3$
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 13$, то $y_1 = 2(13) - 8 = 26 - 8 = 18$.
Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 2(3) - 8 = 6 - 8 = -2$.
Ответ: (13; 18), (3; -2).