Номер 3, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: рабочая тетрадь

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Часть: 2

Цвет обложки: голубой

ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)

Популярные ГДЗ в 9 классе

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 3, страница 28.

№3 (с. 28)
Условие. №3 (с. 28)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс рабочая тетрадь, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, голубого цвета, Часть 2, страница 28, номер 3, Условие Алгебра, 9 класс рабочая тетрадь, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, голубого цвета, Часть 2, страница 28, номер 3, Условие (продолжение 2)

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4; \end{cases}$

Решение.

График первого уравнения системы – окружность с центром в точке ($\underline{\hspace{1cm}}$; $\underline{\hspace{1cm}}$) и радиусом, равным $\underline{\hspace{1cm}}$

График второго уравнения системы – $\underline{\hspace{1cm}}$

Построим в одной системе координат графики данных уравнений.

Ответ: $\underline{\hspace{1cm}}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 1 - x^2; \end{cases}$

Решение.

Ответ: $\underline{\hspace{1cm}}$

3) $\begin{cases} xy = 6, \\ 0.5x^2 + y = 6. \end{cases}$

Решение.

Ответ: $\underline{\hspace{1cm}}$

Решение. №3 (с. 28)
1)

Решение.

График первого уравнения системы $x^2 + y^2 = 9$ – окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом, равным $r_1 = \sqrt{9} = 3$.

График второго уравнения системы $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ – окружность с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом, равным $r_2 = \sqrt{4} = 2$.

Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков. Чтобы определить количество точек пересечения двух окружностей, найдем расстояние между их центрами и сравним его с суммой и разностью их радиусов.

Центр первой окружности – $O_1(0; 0)$.

Центр второй окружности – $O_2(1; -2)$.

Расстояние между центрами $d$ равно: $d = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |3 - 2| = 1$.

Поскольку $1 < \sqrt{5} < 5$, выполняется неравенство $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$. Это означает, что окружности пересекаются в двух точках.

Следовательно, система уравнений имеет два решения.

Ответ: 2.

2)

Решение.

Графиком первого уравнения $x^2 + y^2 = 4$ является окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Графиком второго уравнения $y = 1 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

Построим графики функций в одной системе координат. Окружность проходит через точки $(2; 0)$, $(0; 2)$, $(-2; 0)$ и $(0; -2)$. Вершина параболы $(0; 1)$ находится внутри окружности, так как расстояние от нее до центра окружности равно 1, что меньше радиуса 2. Так как ветви параболы направлены вниз, они обязательно пересекут окружность. Из-за симметрии обоих графиков относительно оси Oy, точек пересечения будет две.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

3)

Решение.

Представим уравнения системы в виде функций для построения графиков:

Из первого уравнения получаем $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Из второго уравнения получаем $y = 6 - 0,5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 6)$.

Построим графики в одной системе координат.

В I четверти ($x > 0$): ветвь гиперболы проходит через точки $(1; 6)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$. Ветвь параболы начинается в точке $(0; 6)$ и убывает, проходя через точки $(2; 4)$, $(3; 1.5)$, $(4; -2)$. Сравнивая значения $y$ для параболы и гиперболы, видим, что в I четверти графики пересекаются дважды.

В III четверти ($x < 0, y < 0$): ветвь гиперболы находится полностью в этой четверти. Парабола входит в III четверть после пересечения оси Ox в точке $x = -\sqrt{12} \approx -3,46$. При $x \to -\infty$ значения параболы ($y \to -\infty$) убывают значительно быстрее, чем значения гиперболы ($y \to 0$). Это означает, что графики пересекутся в III четверти один раз.

В II четверти ($x < 0, y > 0$) находится часть параболы, но нет гиперболы, поэтому пересечений нет. В IV четверти ($x > 0, y < 0$) аналогично, пересечений нет (хотя парабола заходит в эту четверть, гипербола - нет).

Суммируя количество точек пересечения, получаем $2 + 1 = 3$.

Следовательно, система имеет три решения.

Ответ: 3.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 28 для 2-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 28), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.