Номер 3, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 3, страница 28.

Условие.

3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4; \end{cases}$

Решение.

График первого уравнения системы – окружность с центром в точке ($\underline{\hspace{1cm}}$; $\underline{\hspace{1cm}}$) и радиусом, равным $\underline{\hspace{1cm}}$

График второго уравнения системы – $\underline{\hspace{1cm}}$

Построим в одной системе координат графики данных уравнений.

Ответ: $\underline{\hspace{1cm}}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 1 - x^2; \end{cases}$

Решение.

Ответ: $\underline{\hspace{1cm}}$

3) $\begin{cases} xy = 6, \\ 0.5x^2 + y = 6. \end{cases}$

Решение.

Ответ: $\underline{\hspace{1cm}}$

Решение.

1)

Решение.

График первого уравнения системы $x^2 + y^2 = 9$ – окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом, равным $r_1 = \sqrt{9} = 3$.

График второго уравнения системы $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ – окружность с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом, равным $r_2 = \sqrt{4} = 2$.

Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков. Чтобы определить количество точек пересечения двух окружностей, найдем расстояние между их центрами и сравним его с суммой и разностью их радиусов.

Центр первой окружности – $O_1(0; 0)$.

Центр второй окружности – $O_2(1; -2)$.

Расстояние между центрами $d$ равно: $d = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$.

Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |3 - 2| = 1$.

Поскольку $1 < \sqrt{5} < 5$, выполняется неравенство $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$. Это означает, что окружности пересекаются в двух точках.

Следовательно, система уравнений имеет два решения.

Ответ: 2.

2)

Решение.

Графиком первого уравнения $x^2 + y^2 = 4$ является окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Графиком второго уравнения $y = 1 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.

Построим графики функций в одной системе координат. Окружность проходит через точки $(2; 0)$, $(0; 2)$, $(-2; 0)$ и $(0; -2)$. Вершина параболы $(0; 1)$ находится внутри окружности, так как расстояние от нее до центра окружности равно 1, что меньше радиуса 2. Так как ветви параболы направлены вниз, они обязательно пересекут окружность. Из-за симметрии обоих графиков относительно оси Oy, точек пересечения будет две.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: 2.

3)

Решение.

Представим уравнения системы в виде функций для построения графиков:

Из первого уравнения получаем $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Из второго уравнения получаем $y = 6 - 0,5x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 6)$.

Построим графики в одной системе координат.

В I четверти ($x > 0$): ветвь гиперболы проходит через точки $(1; 6)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$. Ветвь параболы начинается в точке $(0; 6)$ и убывает, проходя через точки $(2; 4)$, $(3; 1.5)$, $(4; -2)$. Сравнивая значения $y$ для параболы и гиперболы, видим, что в I четверти графики пересекаются дважды.

В III четверти ($x < 0, y < 0$): ветвь гиперболы находится полностью в этой четверти. Парабола входит в III четверть после пересечения оси Ox в точке $x = -\sqrt{12} \approx -3,46$. При $x \to -\infty$ значения параболы ($y \to -\infty$) убывают значительно быстрее, чем значения гиперболы ($y \to 0$). Это означает, что графики пересекутся в III четверти один раз.

В II четверти ($x < 0, y > 0$) находится часть параболы, но нет гиперболы, поэтому пересечений нет. В IV четверти ($x > 0, y < 0$) аналогично, пересечений нет (хотя парабола заходит в эту четверть, гипербола - нет).

Суммируя количество точек пересечения, получаем $2 + 1 = 3$.

Следовательно, система имеет три решения.

Ответ: 3.