Номер 2, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 2, страница 41.

Условие.

2. В зрительном зале кинотеатра было 320 мест, расположенных одинаковыми рядами. После ремонта количество мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили ещё один ряд, вследствие чего в зале стало 420 мест. Сколько было рядов в зрительном зале до ремонта?

Решение.

Пусть до ремонта в зале было $x$ рядов, в каждом из которых было $y$ мест. Поскольку всего в зале было 320 мест, то можем записать уравнение

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть до ремонта в зале было $x$ рядов, в каждом из которых было $y$ мест. Поскольку всего в зале было 320 мест, то можем записать уравнение:

$x \cdot y = 320$

После ремонта количество рядов стало $(x + 1)$, а количество мест в каждом ряду увеличилось до $(y + 4)$. Общее количество мест в зале стало 420. Составим второе уравнение:

$(x + 1)(y + 4) = 420$

Получили систему уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} xy = 320 \\ (x+1)(y+4) = 420 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{320}{x}$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(x + 1)(\frac{320}{x} + 4) = 420$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{320}{x} + 4x + 1 \cdot \frac{320}{x} + 4 = 420$

$320 + 4x + \frac{320}{x} + 4 = 420$

Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

$4x + \frac{320}{x} + 324 = 420$

$4x + \frac{320}{x} = 420 - 324$

$4x + \frac{320}{x} = 96$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (поскольку $x$, как количество рядов, не может быть равно нулю):

$4x^2 + 320 = 96x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$4x^2 - 96x + 320 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на 4:

$x^2 - 24x + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 24, а их произведение равно 80. Легко подобрать корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 20$.

Оба корня являются положительными целыми числами, поэтому оба могут быть решением задачи. Выполним проверку для каждого из них.

Случай 1: До ремонта было $x = 4$ ряда.

Тогда количество мест в каждом ряду было $y = \frac{320}{4} = 80$.

После ремонта стало $4 + 1 = 5$ рядов, а в каждом ряду стало $80 + 4 = 84$ места. Общее число мест: $5 \cdot 84 = 420$. Это соответствует условию задачи.

Случай 2: До ремонта было $x = 20$ рядов.

Тогда количество мест в каждом ряду было $y = \frac{320}{20} = 16$.

После ремонта стало $20 + 1 = 21$ ряд, а в каждом ряду стало $16 + 4 = 20$ мест. Общее число мест: $21 \cdot 20 = 420$. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: до ремонта в зрительном зале было 4 ряда или 20 рядов.