Номер 6, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 6, страница 45.

Условие.

6. Расстояние между двумя деревнями, равное 48 км, первый велосипедист проезжает на 32 мин быстрее второго. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что за 30 мин первый велосипедист проезжает на 6 км меньше, чем второй велосипедист за 1 ч.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого велосипедиста, а $v_2$ км/ч — скорость второго велосипедиста. По смыслу задачи, $v_1 > 0$ и $v_2 > 0$.

Расстояние между деревнями равно 48 км. Время, за которое первый велосипедист проезжает это расстояние, составляет $t_1 = \frac{48}{v_1}$ часа. Время, за которое второй велосипедист проезжает это же расстояние, составляет $t_2 = \frac{48}{v_2}$ часа.

Из условия известно, что первый велосипедист проезжает расстояние на 32 минуты быстрее второго. Переведем 32 минуты в часы: $32 \text{ мин} = \frac{32}{60} \text{ ч} = \frac{8}{15} \text{ ч}$. Поскольку первый велосипедист тратит меньше времени, получаем первое уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{8}{15}$

$\frac{48}{v_2} - \frac{48}{v_1} = \frac{8}{15}$

Также по условию, за 30 минут (0,5 часа) первый велосипедист проезжает на 6 км меньше, чем второй велосипедист за 1 час. Расстояние, которое проезжает первый за 0,5 часа, равно $0.5 \cdot v_1$ км. Расстояние, которое проезжает второй за 1 час, равно $1 \cdot v_2$ км. Составим второе уравнение:

$v_2 - 0.5 \cdot v_1 = 6$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{48}{v_2} - \frac{48}{v_1} = \frac{8}{15} \\ v_2 - 0.5v_1 = 6 \end{cases}$

Выразим $v_2$ из второго уравнения:

$v_2 = 6 + 0.5v_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{48}{6 + 0.5v_1} - \frac{48}{v_1} = \frac{8}{15}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 8:

$\frac{6}{6 + 0.5v_1} - \frac{6}{v_1} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{6v_1 - 6(6 + 0.5v_1)}{v_1(6 + 0.5v_1)} = \frac{1}{15}$

$\frac{6v_1 - 36 - 3v_1}{0.5v_1^2 + 6v_1} = \frac{1}{15}$

$\frac{3v_1 - 36}{0.5v_1^2 + 6v_1} = \frac{1}{15}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$15(3v_1 - 36) = 1(0.5v_1^2 + 6v_1)$

$45v_1 - 540 = 0.5v_1^2 + 6v_1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.5v_1^2 + 6v_1 - 45v_1 + 540 = 0$

$0.5v_1^2 - 39v_1 + 540 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$v_1^2 - 78v_1 + 1080 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-78)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 6084 - 4320 = 1764$

$\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{78 + 42}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{78 - 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Мы получили два возможных значения скорости первого велосипедиста. Для каждого из них найдем соответствующую скорость второго велосипедиста по формуле $v_2 = 6 + 0.5v_1$.

Случай 1. Если $v_1 = 60$ км/ч, то скорость второго велосипедиста:

$v_2 = 6 + 0.5 \cdot 60 = 6 + 30 = 36$ км/ч.

Случай 2. Если $v_1 = 18$ км/ч, то скорость второго велосипедиста:

$v_2 = 6 + 0.5 \cdot 18 = 6 + 9 = 15$ км/ч.

Оба набора скоростей удовлетворяют условиям задачи ($v_1 > v_2$, что согласуется с тем, что первый велосипедист быстрее). Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ:

Скорость первого велосипедиста — 18 км/ч, скорость второго — 15 км/ч; или скорость первого велосипедиста — 60 км/ч, скорость второго — 36 км/ч.