Номер 7, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 7, страница 46.

Условие.

7. Двое рабочих могут выполнить производственное задание, работая вместе, за 2 ч. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если одному из них для выполнения $\frac{1}{3}$ задания надо на 3 ч меньше, чем второму для выполнения $\frac{2}{3}$ задания?

Решение.

Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно всё задание за $x$ ч, а второй — за $y$ ч. Тогда за один час первый рабочий выполняет $\frac{1}{x}$ часть задания, а за 2 ч — $\frac{2}{x}$ часть задания. Второй рабочий за один час выполняет часть задания, а за 2 ч — часть задания.

Поскольку за 2 ч совместной работы они выполняют всё задание, то можем записать уравнение

Первый рабочий выполняет $\frac{1}{3}$ задания за ч, а второй $\frac{2}{3}$ задания — за ч.

Решение.

Пусть первый рабочий может выполнить все задание самостоятельно за $x$ часов, а второй рабочий — за $y$ часов.

Тогда производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ часть задания в час, а производительность второго рабочего — $\frac{1}{y}$ часть задания в час.

Работая вместе, они выполняют все задание за 2 часа. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Так как за 2 часа совместной работы они выполняют всю работу (которую принимаем за 1), можем составить первое уравнение:

$2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$ или $\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1$

Из условия задачи известно, что первому рабочему для выполнения $\frac{1}{3}$ задания требуется на 3 часа меньше, чем второму для выполнения $\frac{2}{3}$ задания.

Время, необходимое первому рабочему для выполнения $\frac{1}{3}$ задания, равно $\frac{1}{3}x$ часов.

Время, необходимое второму рабочему для выполнения $\frac{2}{3}$ задания, равно $\frac{2}{3}y$ часов.

Составим второе уравнение на основе этого условия:

$\frac{1}{3}x = \frac{2}{3}y - 3$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}y - 3 \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала упростим второе уравнение, умножив обе его части на 3:

$x = 2y - 9$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение, при условии, что $x > 0$ и $y > 0$:

$\frac{2}{2y - 9} + \frac{2}{y} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $y(2y - 9)$:

$\frac{2y + 2(2y - 9)}{y(2y - 9)} = 1$

$2y + 4y - 18 = y(2y - 9)$

$6y - 18 = 2y^2 - 9y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 9y - 6y + 18 = 0$

$2y^2 - 15y + 18 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$

$\sqrt{D} = 9$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-15) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$y_2 = \frac{-(-15) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$, используя формулу $x = 2y - 9$.

1. Если $y_1 = 6$:

$x_1 = 2 \cdot 6 - 9 = 12 - 9 = 3$

Эта пара значений ($x = 3, y = 6$) является возможным решением, так как время выполнения работы положительно.

2. Если $y_2 = 1.5$:

$x_2 = 2 \cdot 1.5 - 9 = 3 - 9 = -6$

Это значение не подходит, так как время не может быть отрицательным.

Следовательно, единственное верное решение: первый рабочий выполняет задание за 3 часа, а второй — за 6 часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание самостоятельно за 3 часа, а второй — за 6 часов.