Номер 8, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки: голубой
ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)
Популярные ГДЗ в 9 классе
Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 8, страница 37.
№8 (с. 37)
Условие. №8 (с. 37)
скриншот условия
 
                                                                                    
                                                                                                                     
                                                                                    
                                                                                                                     
                                                                                    
                                                                                                                     
                                                                                                                                        8. Решите систему уравнений:
1) $\begin{cases} x^2 + 14xy + 49y^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
Решение.
Имеем: $\begin{cases} (x + 7y)^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$ 8;8 $x + 7y = -24,$
Следовательно, для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.
1) $\begin{cases} x + 7y = 24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x + 7y = -24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
Ответ:
2) $\begin{cases} x^2 - 4xy + 4y^2 = 121, \\ y^2 - xy = 28; \end{cases}$
Решение.
Ответ:
3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = -4; \end{cases}$
Решение.
Умножим обе части второго уравнения данной системы на 2. Получим: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ 2xy = -8. \end{cases}$
Сложив почленно левые и правые части уравнений полученной системы, имеем: $x^2 + y^2 + 2xy = 9$. Отсюда
$(x + y)^2 = 9; x + y = $ или $x + y = $
Ответ:
4) $\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281, \\ xy = 10. \end{cases}$
Решение.
Ответ:
Решение. №8 (с. 37)
1) Исходная система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 14xy + 49y^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 14xy + 49y^2 = (x + 7y)^2$.
Тогда систему можно переписать в виде:
$\begin{cases} (x + 7y)^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
Из первого уравнения получаем два случая: $x + 7y = \sqrt{576} = 24$ или $x + 7y = -\sqrt{576} = -24$.
Следовательно, решение исходной системы сводится к решению двух систем линейных уравнений:
а) $\begin{cases} x + 7y = 24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
Сложим почленно два уравнения системы: $(x + 7y) + (x - 7y) = 24 + (-4)$, что дает $2x = 20$, откуда $x = 10$.
Подставим $x = 10$ в первое уравнение: $10 + 7y = 24 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.
Первое решение: $(10, 2)$.
б) $\begin{cases} x + 7y = -24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$
Сложим почленно два уравнения системы: $(x + 7y) + (x - 7y) = -24 + (-4)$, что дает $2x = -28$, откуда $x = -14$.
Подставим $x = -14$ в первое уравнение: $-14 + 7y = -24 \Rightarrow 7y = -10 \Rightarrow y = -10/7$.
Второе решение: $(-14, -10/7)$.
Ответ: $(10, 2)$, $(-14, -10/7)$.
2) Исходная система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 4xy + 4y^2 = 121, \\ y^2 - xy = 28; \end{cases}$
Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$.
Система принимает вид:
$\begin{cases} (x - 2y)^2 = 121, \\ y^2 - xy = 28; \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x - 2y = 11$ или $x - 2y = -11$. Рассмотрим оба случая.
а) Пусть $x - 2y = 11$, откуда $x = 2y + 11$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$y^2 - (2y + 11)y = 28$
$y^2 - 2y^2 - 11y = 28$
$-y^2 - 11y - 28 = 0$
$y^2 + 11y + 28 = 0$
По теореме Виета находим корни: $y_1 = -4$, $y_2 = -7$.
Если $y_1 = -4$, то $x_1 = 2(-4) + 11 = -8 + 11 = 3$.
Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 2(-7) + 11 = -14 + 11 = -3$.
Получаем два решения: $(3, -4)$ и $(-3, -7)$.
б) Пусть $x - 2y = -11$, откуда $x = 2y - 11$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$y^2 - (2y - 11)y = 28$
$y^2 - 2y^2 + 11y = 28$
$-y^2 + 11y - 28 = 0$
$y^2 - 11y + 28 = 0$
По теореме Виета находим корни: $y_3 = 4$, $y_4 = 7$.
Если $y_3 = 4$, то $x_3 = 2(4) - 11 = 8 - 11 = -3$.
Если $y_4 = 7$, то $x_4 = 2(7) - 11 = 14 - 11 = 3$.
Получаем еще два решения: $(-3, 4)$ и $(3, 7)$.
Ответ: $(3, -4)$, $(-3, -7)$, $(-3, 4)$, $(3, 7)$.
3) Исходная система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = -4; \end{cases}$
Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = -8$.
Сложим уравнение $x^2 + y^2 = 17$ с уравнением $2xy = -8$:
$x^2 + 2xy + y^2 = 17 - 8 \Rightarrow (x + y)^2 = 9$.
Отсюда $x + y = 3$ или $x + y = -3$.
Вычтем уравнение $2xy = -8$ из уравнения $x^2 + y^2 = 17$:
$x^2 - 2xy + y^2 = 17 - (-8) \Rightarrow (x - y)^2 = 25$.
Отсюда $x - y = 5$ или $x - y = -5$.
Решение исходной системы сводится к решению четырех систем линейных уравнений:
а) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = 8 \Rightarrow x=4$. Тогда $4 + y = 3 \Rightarrow y = -1$. Решение: $(4, -1)$.
б) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = -2 \Rightarrow x=-1$. Тогда $-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$. Решение: $(-1, 4)$.
в) $\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = 5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = 2 \Rightarrow x=1$. Тогда $1 + y = -3 \Rightarrow y = -4$. Решение: $(1, -4)$.
г) $\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = -5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = -8 \Rightarrow x=-4$. Тогда $-4 + y = -3 \Rightarrow y = 1$. Решение: $(-4, 1)$.
Ответ: $(4, -1)$, $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(-4, 1)$.
4) Исходная система уравнений:
$\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281, \\ xy = 10; \end{cases}$
Умножим второе уравнение на 16: $16xy = 160$. Заметим, что $16xy = 2 \cdot (8x) \cdot y$.
Сложим уравнение $64x^2 + y^2 = 281$ с уравнением $16xy = 160$:
$64x^2 + 16xy + y^2 = 281 + 160 \Rightarrow (8x + y)^2 = 441$.
Отсюда $8x + y = 21$ или $8x + y = -21$.
Вычтем уравнение $16xy = 160$ из уравнения $64x^2 + y^2 = 281$:
$64x^2 - 16xy + y^2 = 281 - 160 \Rightarrow (8x - y)^2 = 121$.
Отсюда $8x - y = 11$ или $8x - y = -11$.
Решение исходной системы сводится к решению четырех систем линейных уравнений:
а) $\begin{cases} 8x + y = 21, \\ 8x - y = 11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = 32 \Rightarrow x=2$. Тогда $8(2) + y = 21 \Rightarrow 16 + y = 21 \Rightarrow y = 5$. Решение: $(2, 5)$.
б) $\begin{cases} 8x + y = 21, \\ 8x - y = -11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = 10 \Rightarrow x=10/16 = 5/8$. Тогда $8(5/8) + y = 21 \Rightarrow 5 + y = 21 \Rightarrow y = 16$. Решение: $(5/8, 16)$.
в) $\begin{cases} 8x + y = -21, \\ 8x - y = 11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = -10 \Rightarrow x=-10/16 = -5/8$. Тогда $8(-5/8) + y = -21 \Rightarrow -5 + y = -21 \Rightarrow y = -16$. Решение: $(-5/8, -16)$.
г) $\begin{cases} 8x + y = -21, \\ 8x - y = -11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = -32 \Rightarrow x=-2$. Тогда $8(-2) + y = -21 \Rightarrow -16 + y = -21 \Rightarrow y = -5$. Решение: $(-2, -5)$.
Ответ: $(2, 5)$, $(-2, -5)$, $(5/8, 16)$, $(-5/8, -16)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 37 для 2-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 37), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    