Номер 8, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 8, страница 37.

Условие.

8. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 14xy + 49y^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

Решение.

Имеем: $\begin{cases} (x + 7y)^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$ 8;8 $x + 7y = -24,$

Следовательно, для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы.

1) $\begin{cases} x + 7y = 24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 7y = -24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

Ответ:

2) $\begin{cases} x^2 - 4xy + 4y^2 = 121, \\ y^2 - xy = 28; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = -4; \end{cases}$

Решение.

Умножим обе части второго уравнения данной системы на 2. Получим: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ 2xy = -8. \end{cases}$

Сложив почленно левые и правые части уравнений полученной системы, имеем: $x^2 + y^2 + 2xy = 9$. Отсюда

$(x + y)^2 = 9; x + y = $ или $x + y = $

Ответ:

4) $\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281, \\ xy = 10. \end{cases}$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 14xy + 49y^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 14xy + 49y^2 = (x + 7y)^2$.

Тогда систему можно переписать в виде:

$\begin{cases} (x + 7y)^2 = 576, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

Из первого уравнения получаем два случая: $x + 7y = \sqrt{576} = 24$ или $x + 7y = -\sqrt{576} = -24$.

Следовательно, решение исходной системы сводится к решению двух систем линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x + 7y = 24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы: $(x + 7y) + (x - 7y) = 24 + (-4)$, что дает $2x = 20$, откуда $x = 10$.

Подставим $x = 10$ в первое уравнение: $10 + 7y = 24 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2$.

Первое решение: $(10, 2)$.

б) $\begin{cases} x + 7y = -24, \\ x - 7y = -4; \end{cases}$

Сложим почленно два уравнения системы: $(x + 7y) + (x - 7y) = -24 + (-4)$, что дает $2x = -28$, откуда $x = -14$.

Подставим $x = -14$ в первое уравнение: $-14 + 7y = -24 \Rightarrow 7y = -10 \Rightarrow y = -10/7$.

Второе решение: $(-14, -10/7)$.

Ответ: $(10, 2)$, $(-14, -10/7)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 4xy + 4y^2 = 121, \\ y^2 - xy = 28; \end{cases}$

Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$.

Система принимает вид:

$\begin{cases} (x - 2y)^2 = 121, \\ y^2 - xy = 28; \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x - 2y = 11$ или $x - 2y = -11$. Рассмотрим оба случая.

а) Пусть $x - 2y = 11$, откуда $x = 2y + 11$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$y^2 - (2y + 11)y = 28$

$y^2 - 2y^2 - 11y = 28$

$-y^2 - 11y - 28 = 0$

$y^2 + 11y + 28 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = -4$, $y_2 = -7$.

Если $y_1 = -4$, то $x_1 = 2(-4) + 11 = -8 + 11 = 3$.

Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 2(-7) + 11 = -14 + 11 = -3$.

Получаем два решения: $(3, -4)$ и $(-3, -7)$.

б) Пусть $x - 2y = -11$, откуда $x = 2y - 11$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$y^2 - (2y - 11)y = 28$

$y^2 - 2y^2 + 11y = 28$

$-y^2 + 11y - 28 = 0$

$y^2 - 11y + 28 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_3 = 4$, $y_4 = 7$.

Если $y_3 = 4$, то $x_3 = 2(4) - 11 = 8 - 11 = -3$.

Если $y_4 = 7$, то $x_4 = 2(7) - 11 = 14 - 11 = 3$.

Получаем еще два решения: $(-3, 4)$ и $(3, 7)$.

Ответ: $(3, -4)$, $(-3, -7)$, $(-3, 4)$, $(3, 7)$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = -4; \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = -8$.

Сложим уравнение $x^2 + y^2 = 17$ с уравнением $2xy = -8$:

$x^2 + 2xy + y^2 = 17 - 8 \Rightarrow (x + y)^2 = 9$.

Отсюда $x + y = 3$ или $x + y = -3$.

Вычтем уравнение $2xy = -8$ из уравнения $x^2 + y^2 = 17$:

$x^2 - 2xy + y^2 = 17 - (-8) \Rightarrow (x - y)^2 = 25$.

Отсюда $x - y = 5$ или $x - y = -5$.

Решение исходной системы сводится к решению четырех систем линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = 8 \Rightarrow x=4$. Тогда $4 + y = 3 \Rightarrow y = -1$. Решение: $(4, -1)$.

б) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = -2 \Rightarrow x=-1$. Тогда $-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$. Решение: $(-1, 4)$.

в) $\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = 5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = 2 \Rightarrow x=1$. Тогда $1 + y = -3 \Rightarrow y = -4$. Решение: $(1, -4)$.

г) $\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = -5; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = -8 \Rightarrow x=-4$. Тогда $-4 + y = -3 \Rightarrow y = 1$. Решение: $(-4, 1)$.

Ответ: $(4, -1)$, $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(-4, 1)$.

4) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} 64x^2 + y^2 = 281, \\ xy = 10; \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 16: $16xy = 160$. Заметим, что $16xy = 2 \cdot (8x) \cdot y$.

Сложим уравнение $64x^2 + y^2 = 281$ с уравнением $16xy = 160$:

$64x^2 + 16xy + y^2 = 281 + 160 \Rightarrow (8x + y)^2 = 441$.

Отсюда $8x + y = 21$ или $8x + y = -21$.

Вычтем уравнение $16xy = 160$ из уравнения $64x^2 + y^2 = 281$:

$64x^2 - 16xy + y^2 = 281 - 160 \Rightarrow (8x - y)^2 = 121$.

Отсюда $8x - y = 11$ или $8x - y = -11$.

Решение исходной системы сводится к решению четырех систем линейных уравнений:

а) $\begin{cases} 8x + y = 21, \\ 8x - y = 11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = 32 \Rightarrow x=2$. Тогда $8(2) + y = 21 \Rightarrow 16 + y = 21 \Rightarrow y = 5$. Решение: $(2, 5)$.

б) $\begin{cases} 8x + y = 21, \\ 8x - y = -11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = 10 \Rightarrow x=10/16 = 5/8$. Тогда $8(5/8) + y = 21 \Rightarrow 5 + y = 21 \Rightarrow y = 16$. Решение: $(5/8, 16)$.

в) $\begin{cases} 8x + y = -21, \\ 8x - y = 11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = -10 \Rightarrow x=-10/16 = -5/8$. Тогда $8(-5/8) + y = -21 \Rightarrow -5 + y = -21 \Rightarrow y = -16$. Решение: $(-5/8, -16)$.

г) $\begin{cases} 8x + y = -21, \\ 8x - y = -11; \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $16x = -32 \Rightarrow x=-2$. Тогда $8(-2) + y = -21 \Rightarrow -16 + y = -21 \Rightarrow y = -5$. Решение: $(-2, -5)$.

Ответ: $(2, 5)$, $(-2, -5)$, $(5/8, 16)$, $(-5/8, -16)$.