Номер 5, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 5, страница 31.

Условие.

5. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y = x + 2$ и окружности $(x + 3)^2 + y^2 = 5$;

Решение.

Координаты точек пересечения указанных фигур — это решения системы уравнений

$\begin{cases} y = x + 2 \\ (x + 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases}$

Ответ:

2) окружности $x^2 + y^2 = 9$ и параболы $y = 3 - x^2$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) прямой $y = x + 2$ и окружности $(x + 3)^2 + y^2 = 5$;

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих фигур:

$ \begin{cases} y = x + 2 \\ (x + 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x + 3)^2 + (x + 2)^2 = 5$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы:

$(x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 4x + 4) = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 10x + 13 = 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 10x + 13 - 5 = 0$

$2x^2 + 10x + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение системы $y = x + 2$:

При $x_1 = -1$:

$y_1 = -1 + 2 = 1$

Первая точка пересечения: $(-1, 1)$.

При $x_2 = -4$:

$y_2 = -4 + 2 = -2$

Вторая точка пересечения: $(-4, -2)$.

Ответ: $(-1, 1)$ и $(-4, -2)$.

2) окружности $x^2 + y^2 = 9$ и параболы $y = 3 - x^2$.

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = 3 - x^2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 3 - y$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(3 - y) + y^2 = 9$

Перепишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения:

$y^2 - y + 3 - 9 = 0$

$y^2 - y - 6 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив найденные значения $y$ в выражение $x^2 = 3 - y$:

При $y_1 = 3$:

$x^2 = 3 - 3 = 0$, откуда $x = 0$.

Первая точка пересечения: $(0, 3)$.

При $y_2 = -2$:

$x^2 = 3 - (-2) = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$.

Получаем еще две точки пересечения: $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$.

Ответ: $(0, 3)$, $(\sqrt{5}, -2)$, $(-\sqrt{5}, -2)$.