Номер 6, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки: голубой
ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)
Популярные ГДЗ в 9 классе
Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 6, страница 32.
№6 (с. 32)
Условие. №6 (с. 32)
скриншот условия
 
             
             
             
                                6. Решите систему уравнений:
1) $\begin{cases} (x + y)^2 - 4(x + y) = 12, \\ x^2 - xy = 12; \end{cases}$
Решение.
Пусть $x + y = t$. Тогда первое уравнение системы можно записать так: $t^2 - 4t - 12 = 0$. Решим полученное уравнение.
Ответ:
2) $\begin{cases} \frac{x}{y} - xy = 6, \\ \frac{2x}{y} + 3xy = 22; \end{cases}$
Решение.
Пусть $\frac{x}{y} = a, xy = b$. Тогда данная система примет вид
Ответ:
3) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1,5; \end{cases}$
Решение.
Ответ:
4) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{26}{5}, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases}$
Решение.
Пусть $\frac{x}{y} = a$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$ и первое уравнение системы примет вид.
Ответ:
5) $\begin{cases} \frac{x + 3y}{x - y} - \frac{x - y}{x + 3y} = \frac{24}{5}, \\ 5x + 8y = 18. \end{cases}$
Решение.
Ответ:
Решение. №6 (с. 32)
1)$ \begin{cases} (x + y)^2 - 4(x + y) = 12, \\ x^2 - xy = 12; \end{cases} $
Решение.
Пусть $x + y = t$. Тогда первое уравнение системы можно записать так: $t^2 - 4t - 12 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:
$t_1 + t_2 = 4$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Отсюда $t_1 = 6$, $t_2 = -2$.
Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x + y = 6$.
Получаем систему:$ \begin{cases} x + y = 6, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y = 6 - x$ и подставим во второе:
$x^2 - x(6 - x) = 12$
$x^2 - 6x + x^2 = 12$
$2x^2 - 6x - 12 = 0$
$x^2 - 3x - 6 = 0$
Найдем корни с помощью дискриминанта:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$, то $y_1 = 6 - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} = \frac{12 - 3 - \sqrt{33}}{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$.
Если $x_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$, то $y_2 = 6 - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} = \frac{12 - 3 + \sqrt{33}}{2} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$.
Случай 2: $x + y = -2$.
Получаем систему:$ \begin{cases} x + y = -2, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y = -2 - x$ и подставим во второе:
$x^2 - x(-2 - x) = 12$
$x^2 + 2x + x^2 = 12$
$2x^2 + 2x - 12 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_3 = 2$, $x_4 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_3 = 2$, то $y_3 = -2 - 2 = -4$.
Если $x_4 = -3$, то $y_4 = -2 - (-3) = 1$.
Таким образом, система имеет четыре решения.
Ответ: $(\frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{9 - \sqrt{33}}{2})$, $(\frac{3 - \sqrt{33}}{2}, \frac{9 + \sqrt{33}}{2})$, $(2, -4)$, $(-3, 1)$.
2)$ \begin{cases} \frac{x}{y} - xy = 6, \\ \frac{2x}{y} + 3xy = 22; \end{cases} $
Решение.
Пусть $\frac{x}{y} = a$, $xy = b$. Тогда данная система примет вид:
$ \begin{cases} a - b = 6, \\ 2a + 3b = 22. \end{cases} $
Это линейная система уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a = 6 + b$ и подставим во второе:
$2(6 + b) + 3b = 22$
$12 + 2b + 3b = 22$
$5b = 10$
$b = 2$
Тогда $a = 6 + 2 = 8$.
Вернемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} \frac{x}{y} = 8, \\ xy = 2. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = 8y$ и подставим во второе:
$(8y)y = 2$
$8y^2 = 2$
$y^2 = \frac{1}{4}$
$y_1 = \frac{1}{2}$, $y_2 = -\frac{1}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
Если $y_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_2 = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$.
Ответ: $(4, \frac{1}{2})$, $(-4, -\frac{1}{2})$.
3)$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1,5; \end{cases} $
Решение.
Введем новые переменные. Пусть $\frac{1}{x} = a$, $\frac{1}{y} = b$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a - b = \frac{1}{3}, \\ 2a + 3b = 1,5. \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 3:
$ \begin{cases} 3a - 3b = 1, \\ 2a + 3b = 1,5. \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(3a - 3b) + (2a + 3b) = 1 + 1,5$
$5a = 2,5$
$a = 0,5 = \frac{1}{2}$
Подставим значение $a$ в первое уравнение системы для $a$ и $b$:
$\frac{1}{2} - b = \frac{1}{3}$
$b = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
Вернемся к исходным переменным:
$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{2} \implies x = 2$
$\frac{1}{y} = b = \frac{1}{6} \implies y = 6$
Ответ: $(2, 6)$.
4)$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{26}{5}, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases} $
Решение.
Пусть $\frac{x}{y} = a$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$. Первое уравнение системы примет вид:
$a + \frac{1}{a} = \frac{26}{5}$
Умножим обе части на $5a$ (при условии $a \ne 0$, что следует из ОДЗ исходного уравнения $x \ne 0, y \ne 0$):
$5a^2 + 5 = 26a$
$5a^2 - 26a + 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.
$a_{1,2} = \frac{26 \pm 24}{10}$
$a_1 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$
$a_2 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 5$, откуда $x = 5y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(5y)^2 - y^2 = 24$
$25y^2 - y^2 = 24$
$24y^2 = 24$
$y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 5 \cdot 1 = 5$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 5 \cdot (-1) = -5$.
Получили две пары решений: $(5, 1)$ и $(-5, -1)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$, откуда $y = 5x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 - (5x)^2 = 24$
$x^2 - 25x^2 = 24$
$-24x^2 = 24$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: $(5, 1)$, $(-5, -1)$.
5)$ \begin{cases} \frac{x + 3y}{x - y} - \frac{x - y}{x + 3y} = \frac{24}{5}, \\ 5x + 8y = 18; \end{cases} $
Решение.
Введем замену. Пусть $\frac{x + 3y}{x - y} = a$. Тогда первое уравнение примет вид:
$a - \frac{1}{a} = \frac{24}{5}$
Умножим обе части на $5a$ (при $a \ne 0$):
$5a^2 - 5 = 24a$
$5a^2 - 24a - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2$.
$a_{1,2} = \frac{24 \pm 26}{10}$
$a_1 = \frac{24 + 26}{10} = \frac{50}{10} = 5$
$a_2 = \frac{24 - 26}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x + 3y}{x - y} = 5$.
$x + 3y = 5(x - y)$
$x + 3y = 5x - 5y$
$8y = 4x \implies x = 2y$.
Подставим $x = 2y$ во второе уравнение системы $5x + 8y = 18$:
$5(2y) + 8y = 18$
$10y + 8y = 18$
$18y = 18 \implies y = 1$.
Тогда $x = 2 \cdot 1 = 2$.
Получили решение $(2, 1)$.
Случай 2: $\frac{x + 3y}{x - y} = -\frac{1}{5}$.
$5(x + 3y) = -(x - y)$
$5x + 15y = -x + y$
$6x = -14y \implies x = -\frac{14}{6}y = -\frac{7}{3}y$.
Подставим $x = -\frac{7}{3}y$ во второе уравнение системы $5x + 8y = 18$:
$5(-\frac{7}{3}y) + 8y = 18$
$-\frac{35}{3}y + \frac{24}{3}y = 18$
$-\frac{11}{3}y = 18$
$y = -\frac{18 \cdot 3}{11} = -\frac{54}{11}$.
Тогда $x = -\frac{7}{3} \cdot (-\frac{54}{11}) = \frac{7 \cdot 18}{11} = \frac{126}{11}$.
Получили решение $(\frac{126}{11}, -\frac{54}{11})$.
Ответ: $(2, 1)$, $(\frac{126}{11}, -\frac{54}{11})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 32 для 2-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 32), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 2-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    