Номер 6, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 6, страница 32.

Условие.

6. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (x + y)^2 - 4(x + y) = 12, \\ x^2 - xy = 12; \end{cases}$

Решение.

Пусть $x + y = t$. Тогда первое уравнение системы можно записать так: $t^2 - 4t - 12 = 0$. Решим полученное уравнение.

Ответ:

2) $\begin{cases} \frac{x}{y} - xy = 6, \\ \frac{2x}{y} + 3xy = 22; \end{cases}$

Решение.

Пусть $\frac{x}{y} = a, xy = b$. Тогда данная система примет вид

Ответ:

3) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1,5; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

4) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{26}{5}, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases}$

Решение.

Пусть $\frac{x}{y} = a$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$ и первое уравнение системы примет вид.

Ответ:

5) $\begin{cases} \frac{x + 3y}{x - y} - \frac{x - y}{x + 3y} = \frac{24}{5}, \\ 5x + 8y = 18. \end{cases}$

Решение.

Ответ:

Решение.

1)$ \begin{cases} (x + y)^2 - 4(x + y) = 12, \\ x^2 - xy = 12; \end{cases} $

Решение.

Пусть $x + y = t$. Тогда первое уравнение системы можно записать так: $t^2 - 4t - 12 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:

$t_1 + t_2 = 4$

$t_1 \cdot t_2 = -12$

Отсюда $t_1 = 6$, $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x + y = 6$.

Получаем систему:$ \begin{cases} x + y = 6, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = 6 - x$ и подставим во второе:

$x^2 - x(6 - x) = 12$

$x^2 - 6x + x^2 = 12$

$2x^2 - 6x - 12 = 0$

$x^2 - 3x - 6 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$, то $y_1 = 6 - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} = \frac{12 - 3 - \sqrt{33}}{2} = \frac{9 - \sqrt{33}}{2}$.

Если $x_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$, то $y_2 = 6 - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} = \frac{12 - 3 + \sqrt{33}}{2} = \frac{9 + \sqrt{33}}{2}$.

Случай 2: $x + y = -2$.

Получаем систему:$ \begin{cases} x + y = -2, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = -2 - x$ и подставим во второе:

$x^2 - x(-2 - x) = 12$

$x^2 + 2x + x^2 = 12$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_3 = 2$, $x_4 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_3 = 2$, то $y_3 = -2 - 2 = -4$.

Если $x_4 = -3$, то $y_4 = -2 - (-3) = 1$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(\frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{9 - \sqrt{33}}{2})$, $(\frac{3 - \sqrt{33}}{2}, \frac{9 + \sqrt{33}}{2})$, $(2, -4)$, $(-3, 1)$.

2)$ \begin{cases} \frac{x}{y} - xy = 6, \\ \frac{2x}{y} + 3xy = 22; \end{cases} $

Решение.

Пусть $\frac{x}{y} = a$, $xy = b$. Тогда данная система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = 6, \\ 2a + 3b = 22. \end{cases} $

Это линейная система уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a = 6 + b$ и подставим во второе:

$2(6 + b) + 3b = 22$

$12 + 2b + 3b = 22$

$5b = 10$

$b = 2$

Тогда $a = 6 + 2 = 8$.

Вернемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} = 8, \\ xy = 2. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x = 8y$ и подставим во второе:

$(8y)y = 2$

$8y^2 = 2$

$y^2 = \frac{1}{4}$

$y_1 = \frac{1}{2}$, $y_2 = -\frac{1}{2}$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Если $y_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_2 = 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = -4$.

Ответ: $(4, \frac{1}{2})$, $(-4, -\frac{1}{2})$.

3)$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1,5; \end{cases} $

Решение.

Введем новые переменные. Пусть $\frac{1}{x} = a$, $\frac{1}{y} = b$. Система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = \frac{1}{3}, \\ 2a + 3b = 1,5. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 3:

$ \begin{cases} 3a - 3b = 1, \\ 2a + 3b = 1,5. \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(3a - 3b) + (2a + 3b) = 1 + 1,5$

$5a = 2,5$

$a = 0,5 = \frac{1}{2}$

Подставим значение $a$ в первое уравнение системы для $a$ и $b$:

$\frac{1}{2} - b = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$

Вернемся к исходным переменным:

$\frac{1}{x} = a = \frac{1}{2} \implies x = 2$

$\frac{1}{y} = b = \frac{1}{6} \implies y = 6$

Ответ: $(2, 6)$.

4)$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{26}{5}, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases} $

Решение.

Пусть $\frac{x}{y} = a$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$. Первое уравнение системы примет вид:

$a + \frac{1}{a} = \frac{26}{5}$

Умножим обе части на $5a$ (при условии $a \ne 0$, что следует из ОДЗ исходного уравнения $x \ne 0, y \ne 0$):

$5a^2 + 5 = 26a$

$5a^2 - 26a + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$a_{1,2} = \frac{26 \pm 24}{10}$

$a_1 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$a_2 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 5$, откуда $x = 5y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(5y)^2 - y^2 = 24$

$25y^2 - y^2 = 24$

$24y^2 = 24$

$y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 5 \cdot 1 = 5$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 5 \cdot (-1) = -5$.

Получили две пары решений: $(5, 1)$ и $(-5, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$, откуда $y = 5x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (5x)^2 = 24$

$x^2 - 25x^2 = 24$

$-24x^2 = 24$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: $(5, 1)$, $(-5, -1)$.

5)$ \begin{cases} \frac{x + 3y}{x - y} - \frac{x - y}{x + 3y} = \frac{24}{5}, \\ 5x + 8y = 18; \end{cases} $

Решение.

Введем замену. Пусть $\frac{x + 3y}{x - y} = a$. Тогда первое уравнение примет вид:

$a - \frac{1}{a} = \frac{24}{5}$

Умножим обе части на $5a$ (при $a \ne 0$):

$5a^2 - 5 = 24a$

$5a^2 - 24a - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676 = 26^2$.

$a_{1,2} = \frac{24 \pm 26}{10}$

$a_1 = \frac{24 + 26}{10} = \frac{50}{10} = 5$

$a_2 = \frac{24 - 26}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x + 3y}{x - y} = 5$.

$x + 3y = 5(x - y)$

$x + 3y = 5x - 5y$

$8y = 4x \implies x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ во второе уравнение системы $5x + 8y = 18$:

$5(2y) + 8y = 18$

$10y + 8y = 18$

$18y = 18 \implies y = 1$.

Тогда $x = 2 \cdot 1 = 2$.

Получили решение $(2, 1)$.

Случай 2: $\frac{x + 3y}{x - y} = -\frac{1}{5}$.

$5(x + 3y) = -(x - y)$

$5x + 15y = -x + y$

$6x = -14y \implies x = -\frac{14}{6}y = -\frac{7}{3}y$.

Подставим $x = -\frac{7}{3}y$ во второе уравнение системы $5x + 8y = 18$:

$5(-\frac{7}{3}y) + 8y = 18$

$-\frac{35}{3}y + \frac{24}{3}y = 18$

$-\frac{11}{3}y = 18$

$y = -\frac{18 \cdot 3}{11} = -\frac{54}{11}$.

Тогда $x = -\frac{7}{3} \cdot (-\frac{54}{11}) = \frac{7 \cdot 18}{11} = \frac{126}{11}$.

Получили решение $(\frac{126}{11}, -\frac{54}{11})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(\frac{126}{11}, -\frac{54}{11})$.