Номер 4, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 13. Системы уравнений с двумя переменными - номер 4, страница 29.

Условие.

4. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} y - 2x = 6, \\ x^2 - xy + y^2 = 12; \end{cases} $

Решение. Имеем:

$ \begin{cases} y = 2x + 6, \\ x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12; \end{cases} $

Ответ:

2) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x^2 + xy + y^2 = 8; \end{cases} $

Решение. Ответ:

3) $ \begin{cases} 2x - 3y = 13, \\ 3x^2 + xy = 6; \end{cases} $

Решение. Имеем:

$ \begin{cases} y = \frac{2x - 13}{3}, \\ 3x^2 + x \cdot \frac{2x - 13}{3} = 6; \end{cases} $

Ответ:

4) $ \begin{cases} x - 2y = 4, \\ x^2 + 2xy + 2y^2 - 3y = 5. \end{cases} $

Решение. Ответ:

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - 2x = 6 \\ x^2 - xy + y^2 = 12 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x + 6$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - x(2x + 6) + (2x + 6)^2 = 12$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 - 2x^2 - 6x + (4x^2 + 24x + 36) = 12$

$x^2 - 2x^2 - 6x + 4x^2 + 24x + 36 - 12 = 0$

$3x^2 + 18x + 24 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$x^2 + 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$:

Если $x_1 = -4$, то $y_1 = 2(-4) + 6 = -8 + 6 = -2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(-4, -2), (-2, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 + xy + y^2 = 8 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2x - x^2 + (4 - 4x + x^2) = 8$

$2x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 - 8 = 0$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2.

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 2 = 0$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 - (-1) = 3$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(2, 0), (-1, 3)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 13 \\ 3x^2 + xy = 6 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$-3y = 13 - 2x$

$y = \frac{2x - 13}{3}$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$3x^2 + x \left(\frac{2x - 13}{3}\right) = 6$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$9x^2 + x(2x - 13) = 18$

$9x^2 + 2x^2 - 13x - 18 = 0$

$11x^2 - 13x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-18) = 169 + 792 = 961$

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-13) + 31}{2 \cdot 11} = \frac{13 + 31}{22} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{-(-13) - 31}{2 \cdot 11} = \frac{13 - 31}{22} = \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11}$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{2(2) - 13}{3} = \frac{4 - 13}{3} = \frac{-9}{3} = -3$.

Если $x_2 = -\frac{9}{11}$, то $y_2 = \frac{2(-\frac{9}{11}) - 13}{3} = \frac{-\frac{18}{11} - \frac{143}{11}}{3} = \frac{-\frac{161}{11}}{3} = -\frac{161}{33}$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(2, -3), (-\frac{9}{11}, -\frac{161}{33})$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 4 \\ x^2 + 2xy + 2y^2 - 3y = 5 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 4 + 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(4 + 2y)^2 + 2(4 + 2y)y + 2y^2 - 3y = 5$

Раскроем скобки и упростим:

$(16 + 16y + 4y^2) + (8y + 4y^2) + 2y^2 - 3y - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4y^2 + 4y^2 + 2y^2) + (16y + 8y - 3y) + (16 - 5) = 0$

$10y^2 + 21y + 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = 21^2 - 4 \cdot 10 \cdot 11 = 441 - 440 = 1$

$\sqrt{D} = 1$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-21 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{-20}{20} = -1$

$y_2 = \frac{-21 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{-22}{20} = -\frac{11}{10}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 4 + 2(-1) = 4 - 2 = 2$.

Если $y_2 = -\frac{11}{10}$, то $x_2 = 4 + 2(-\frac{11}{10}) = 4 - \frac{11}{5} = \frac{20}{5} - \frac{11}{5} = \frac{9}{5}$.

Получили две пары решений.

Ответ: $(2, -1), (\frac{9}{5}, -\frac{11}{10})$.