Номер 3, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 3, страница 42.

Условие.

3. Из морского порта одновременно вышли два теплохода, один из которых пошёл на юг, а другой – на запад. Спустя 30 мин после отплытия расстояние между теплоходами было 15 км, а спустя ещё 15 мин оказалось, что один из теплоходов был от порта на 4,5 км дальше, чем другой. Найдите скорость каждого теплохода.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $v_1$ км/ч – скорость теплохода, который пошёл на юг, а $v_2$ км/ч – скорость теплохода, который пошёл на запад. Поскольку направления их движения взаимно перпендикулярны, их пути от порта и расстояние между ними образуют прямоугольный треугольник.

1. Через 30 минут ($0.5$ часа) после отплытия. За это время первый теплоход прошел расстояние $S_1 = 0.5 \cdot v_1$ км, а второй – $S_2 = 0.5 \cdot v_2$ км. Эти расстояния являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние между теплоходами (15 км) – его гипотенузой. По теореме Пифагора:

$S_1^2 + S_2^2 = 15^2$

$(0.5v_1)^2 + (0.5v_2)^2 = 225$

$0.25v_1^2 + 0.25v_2^2 = 225$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$v_1^2 + v_2^2 = 900$

Это наше первое уравнение.

2. Спустя ещё 15 минут, то есть через $30 + 15 = 45$ минут ($0.75$ часа) от начала движения. За это время первый теплоход отошел от порта на расстояние $D_1 = 0.75 \cdot v_1$ км, а второй – на $D_2 = 0.75 \cdot v_2$ км. По условию, разница этих расстояний составила 4,5 км:

$|D_1 - D_2| = 4.5$

$|0.75v_1 - 0.75v_2| = 4.5$

$0.75 \cdot |v_1 - v_2| = 4.5$

$|v_1 - v_2| = \frac{4.5}{0.75} = 6$

Это означает, что скорость одного теплохода на 6 км/ч больше скорости другого. Предположим, что $v_1 > v_2$, тогда $v_1 - v_2 = 6$, откуда $v_1 = v_2 + 6$. Это наше второе уравнение.

3. Составим и решим систему уравнений:

$\begin{cases} v_1^2 + v_2^2 = 900 \\ v_1 = v_2 + 6 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_1$ из второго уравнения в первое:

$(v_2 + 6)^2 + v_2^2 = 900$

$v_2^2 + 12v_2 + 36 + v_2^2 = 900$

$2v_2^2 + 12v_2 + 36 - 900 = 0$

$2v_2^2 + 12v_2 - 864 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_2^2 + 6v_2 - 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

$\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$

$v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 42}{2}$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$v_2 = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$ (км/ч)

Теперь найдем скорость первого теплохода:

$v_1 = v_2 + 6 = 18 + 6 = 24$ (км/ч)

Таким образом, скорости теплоходов равны 18 км/ч и 24 км/ч.

Ответ: скорости теплоходов 18 км/ч и 24 км/ч.