Номер 9, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 9, страница 48.

Условие.

9. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 50 км, навстречу друг другу одновременно отправились в пеший поход два туриста. Через 5 ч после начала движения они встретились. После встречи скорость первого туриста, идущего из А в В, уменьшилась на 1 км/ч, а скорость второго, идущего из В в А, увеличилась на 1 км/ч. Первый турист прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите первоначальную скорость первого туриста.

Решение.

Пусть первоначальная скорость первого туриста была $x$ км/ч, а второго — $y$ км/ч. За 5 ч до встречи первый турист прошёл $5x$ км, а второй — $ \text{ } $ км. Поскольку вместе они прошли 50 км, то можем записать уравнение

До встречи туристы потратили одно и то же время. После встречи
первый турист шёл на 2 ч меньше, чем второй, при этом первый турист прошёл $5y$ км со скоростью $( )$ км/ч за $ \text{ } $ , ч, а второй турист прошёл $ \text{ } $ км со скоростью $( )$ км/ч за $ \text{ } $ ч.

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость первого туриста, идущего из пункта А в В, а $y$ км/ч — первоначальная скорость второго туриста, идущего из В в А.

Туристы движутся навстречу друг другу и встретились через 5 часов. За это время первый турист прошел расстояние $5x$ км, а второй — $5y$ км. Вместе они прошли всё расстояние в 50 км. Составим первое уравнение:

$5x + 5y = 50$

Разделив обе части на 5, получим:

$x + y = 10$

Отсюда можно выразить скорость второго туриста через скорость первого:

$y = 10 - x$

После встречи первому туристу осталось пройти путь, который прошел второй турист до встречи, то есть $5y$ км. Его скорость после встречи стала $(x-1)$ км/ч. Время, затраченное им на оставшийся путь, равно:

$t_1 = \frac{5y}{x-1}$

Второму туристу после встречи осталось пройти путь, который прошел первый турист до встречи, то есть $5x$ км. Его скорость стала $(y+1)$ км/ч. Время, затраченное им на оставшийся путь, равно:

$t_2 = \frac{5x}{y+1}$

По условию задачи, первый турист прибыл в пункт В на 2 часа раньше, чем второй в пункт А. Это значит, что время движения второго туриста после встречи было на 2 часа больше, чем у первого. Составим второе уравнение:

$t_2 - t_1 = 2$

$\frac{5x}{y+1} - \frac{5y}{x-1} = 2$

Теперь решим систему из двух уравнений. Подставим выражение $y = 10 - x$ во второе уравнение:

$\frac{5x}{(10 - x) + 1} - \frac{5(10 - x)}{x - 1} = 2$

$\frac{5x}{11 - x} - \frac{50 - 5x}{x - 1} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $(11-x)(x-1)$:

$\frac{5x(x - 1) - (50 - 5x)(11 - x)}{(11 - x)(x - 1)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$5x^2 - 5x - (550 - 50x - 55x + 5x^2) = 5x^2 - 5x - (5x^2 - 105x + 550) = 100x - 550$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(11 - x)(x - 1) = 11x - 11 - x^2 + x = -x^2 + 12x - 11$

Получаем уравнение:

$\frac{100x - 550}{-x^2 + 12x - 11} = 2$

Умножим обе части на знаменатель (при условии, что $x \neq 1$ и $x \neq 11$):

$100x - 550 = 2(-x^2 + 12x - 11)$

$100x - 550 = -2x^2 + 24x - 22$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 100x - 24x - 550 + 22 = 0$

$2x^2 + 76x - 528 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + 38x - 264 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 1444 + 1056 = 2500$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-38 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-38 + 50}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-38 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-38 - 50}{2} = \frac{-88}{2} = -44$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -44$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость первого туриста равна 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.