Номер 8, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 14. Математическое моделирование - номер 8, страница 47.

Условие.

8. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать дорогу за 20 дней. Первая бригада работала на ремонте дороги 9 дней, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 6 дней совместной работы оказалось, что отремонтировали половину дороги. За сколько дней может отремонтировать эту дорогу самостоятельно каждая бригада?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Примем всю работу по ремонту дороги за единицу (1).

Пусть $x$ – это количество дней, за которое первая бригада может отремонтировать всю дорогу, работая самостоятельно. Тогда ее производительность (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ дороги в день.

Пусть $y$ – это количество дней, за которое вторая бригада может отремонтировать всю дорогу, работая самостоятельно. Ее производительность составляет $\frac{1}{y}$ дороги в день.

Из условия известно, что, работая вместе, обе бригады могут отремонтировать дорогу за 20 дней. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Таким образом, можем составить первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times 20 = 1$, что равносильно $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}$.

Далее, по условию, первая бригада работала одна 9 дней, а затем обе бригады работали вместе еще 6 дней. За это время они отремонтировали половину дороги ($\frac{1}{2}$).
Общее время работы первой бригады составило $9 + 6 = 15$ дней.
Вторая бригада работала 6 дней.
Суммарно они выполнили половину всей работы, что дает нам второе уравнение:
$15 \times \frac{1}{x} + 6 \times \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $\frac{1}{y}$:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{20} - \frac{1}{x}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{15}{x} + 6 \left(\frac{1}{20} - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$\frac{15}{x} + \frac{6}{20} - \frac{6}{x} = \frac{1}{2}$
$\frac{9}{x} + \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
$\frac{9}{x} = \frac{1}{2} - \frac{3}{10}$
$\frac{9}{x} = \frac{5}{10} - \frac{3}{10}$
$\frac{9}{x} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Отсюда $x = 9 \times 5 = 45$.

Таким образом, первой бригаде для выполнения всей работы в одиночку потребуется 45 дней.

Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x=45$ в первое уравнение системы:
$\frac{1}{45} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{y} = \frac{1}{20} - \frac{1}{45}$
Приведем дроби к общему знаменателю (180):
$\frac{1}{y} = \frac{9}{180} - \frac{4}{180}$
$\frac{1}{y} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$
Отсюда $y = 36$.

Следовательно, второй бригаде для выполнения всей работы в одиночку потребуется 36 дней.

Ответ: первая бригада может отремонтировать дорогу за 45 дней, а вторая — за 36 дней.