Номер 18, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 18, страница 19.

Условие.

18. Решите неравенство:

1) $ \frac{-x^2 - 5}{21 + 2x - 3x^2} \ge 0; $

Решение.

Поскольку $ -x^2 - 5 < 0 $ при $ x \in \mathbb{R} $ то данное неравенство равносильно неравенству $ 21 + 2x - 3x^2 $ 0.

Ответ:

2) $ (x + 3)^2 (x^2 - 49) < 0; $

Решение.

Поскольку $ (x + 3)^2 > 0 $ при $ x \neq -3 $, то данное неравенство равносильно системе неравенств $ \left\{ \right. $

Ответ:

3) $ |x| (x^2 - 13x + 42) > 0; $

Решение.

Ответ:

4) $ \sqrt{x} (x^2 - x - 12) < 0; $

Решение.

Поскольку выражение $ \sqrt{x} $ определено при $ x $ и принимает при этом значения, то данное неравенство равносильно системе неравенств $ \left\{ \right. $

Ответ:

5) $ \sqrt{x} (x^2 + 2x - 24) \ge 0; $

Решение.

Ответ:

6) $ \frac{x^2 - 11x - 12}{(x - 6)^2} \le 0. $

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\frac{-x^2 - 5}{21 + 2x - 3x^2} \ge 0$
Решение.
Поскольку числитель $-x^2 - 5 = -(x^2+5)$ всегда отрицателен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+5 \ge 5$, и $-(x^2+5) \le -5$) при любом $x \in R$, то для того, чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю). Таким образом, данное неравенство равносильно неравенству:
$21 + 2x - 3x^2 < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$3x^2 - 2x - 21 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 2x - 21 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{2 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{2 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
Поскольку ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 21$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 2x - 21 > 0$ выполняется при $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $x < -\frac{7}{3}$ или $x > 3$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{7}{3}) \cup (3; +\infty)$.

2) $(x + 3)^2(x^2 - 49) < 0$
Решение.
Поскольку множитель $(x+3)^2 \ge 0$ при любом $x \in R$. Так как неравенство строгое, то $(x+3)^2$ не может быть равно нулю, следовательно, $x \ne -3$. При $x \ne -3$ множитель $(x+3)^2$ строго положителен, и мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака.
Таким образом, данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 49 < 0 \\ x \ne -3 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 - 49 < 0$
$(x-7)(x+7) < 0$
Корнями являются $x = -7$ и $x = 7$. Ветви параболы $y = x^2 - 49$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-7 < x < 7$.
Учитывая условие $x \ne -3$, получаем решение: $x \in (-7; -3) \cup (-3; 7)$.
Ответ: $(-7; -3) \cup (-3; 7)$.

3) $|x|(x^2 - 13x + 42) > 0$
Решение.
Поскольку множитель $|x| \ge 0$ при любом $x \in R$. Так как неравенство строгое, то $|x| \ne 0$, откуда $x \ne 0$. При $x \ne 0$ множитель $|x|$ строго положителен, и мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака.
Таким образом, данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 13x + 42 > 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 42 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 42. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = 7$.
Неравенство можно записать в виде $(x-6)(x-7) > 0$.
Ветви параболы $y = x^2 - 13x + 42$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < 6$ или $x > 7$.
Учитывая условие $x \ne 0$, получаем решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (7; +\infty)$.

4) $\sqrt{x}(x^2 - x - 12) < 0$
Решение.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.
Множитель $\sqrt{x} \ge 0$ при $x \ge 0$. Так как неравенство строгое, то $\sqrt{x} \ne 0$, что означает $x \ne 0$. Таким образом, мы ищем решения при $x > 0$.
При $x > 0$ множитель $\sqrt{x}$ строго положителен, и мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - x - 12 < 0 \\ x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Неравенство можно записать в виде $(x-4)(x+3) < 0$.
Ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-3 < x < 4$.
Найдем пересечение решения $-3 < x < 4$ с условием $x > 0$.
Пересечением является интервал $0 < x < 4$.
Ответ: $(0; 4)$.

5) $\sqrt{x}(x^2 + 2x - 24) \ge 0$
Решение.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$. $x^2 + 2x - 24 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -6, x_2 = 4$. С учетом ОДЗ ($x \ge 0$), подходит только корень $x = 4$.
Таким образом, $x=0$ и $x=4$ являются решениями неравенства.
Произведение строго больше нуля, $\sqrt{x}(x^2 + 2x - 24) > 0$, если оба множителя положительны (так как $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным). Это возможно при $x > 0$. В этом случае $\sqrt{x} > 0$, и неравенство равносильно $x^2 + 2x - 24 > 0$.
Корни уравнения $x^2 + 2x - 24 = 0$ мы уже нашли: $x_1 = -6, x_2 = 4$.
Неравенство $(x+6)(x-4) > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x < -6$ или $x > 4$.
С учетом условия $x > 0$, получаем $x > 4$.
Объединяя все найденные решения ($x=0$, $x=4$ и $x > 4$), получаем: $x=0$ и $x \ge 4$.
Ответ: $\{0\} \cup [4; +\infty)$.

6) $\frac{x^2 - 11x - 12}{(x - 6)^2} \le 0$
Решение.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x - 6)^2 \ne 0$, откуда $x \ne 6$.
Знаменатель $(x - 6)^2$ всегда положителен при $x \ne 6$.
Поскольку знаменатель дроби положителен на ОДЗ, знак дроби определяется знаком числителя. Таким образом, данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 11x - 12 \le 0 \\ x \ne 6 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 11x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 12$, $x_2 = -1$.
Неравенство можно записать в виде $(x-12)(x+1) \le 0$.
Ветви параболы $y = x^2 - 11x - 12$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая концы): $-1 \le x \le 12$.
Теперь учтем условие $x \ne 6$. Точка $x=6$ лежит внутри отрезка $[-1; 12]$, поэтому ее необходимо исключить.
Получаем решение: $x \in [-1; 6) \cup (6; 12]$.
Ответ: $[-1; 6) \cup (6; 12]$.