Номер 12, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 12, страница 12.

Условие.

12. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{3x^2 - 10x + 3};$

Решение.

Область определения данной

функции — множество решений

неравенства $3x^2 - 10x + 3 \geq 0.$

Имеем:

Ответ:

2) $y = \sqrt{3 + 5x - 2x^2};$

Решение.

Ответ:

3) $y = \frac{4}{\sqrt{4 - 3x - x^2}};$

Решение.

Область определения данной

функции — множество решений

неравенства $4 - 3x - x^2 > 0.$

Имеем:

Ответ:

4) $y = \frac{9}{\sqrt{3x^2 - 24x}};$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $y = \sqrt{3x^2 - 10x + 3}$

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство: $3x^2 - 10x + 3 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Следовательно, неравенство $3x^2 - 10x + 3 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}] \cup [3; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{3 + 5x - 2x^2}$

Область определения функции задается неравенством $3 + 5x - 2x^2 \ge 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак на противоположный, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства: $2x^2 - 5x - 3 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ветви параболы $y = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $2x^2 - 5x - 3 \le 0$ выполняется для значений $x$ между корнями, включая их.

Ответ: $x \in [-0.5; 3]$.

3) $y = \frac{4}{\sqrt{4 - 3x - x^2}}$

Подкоренное выражение в знаменателе дроби должно быть строго больше нуля. Таким образом, решаем неравенство: $4 - 3x - x^2 > 0$.

Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак: $x^2 + 3x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение $-4$, откуда $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 4$ направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $x^2 + 3x - 4 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-4; 1)$.

4) $y = \frac{9}{\sqrt{3x^2 - 24x}}$

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $3x^2 - 24x > 0$.

Решим это неравенство. Разделим обе части на 3: $x^2 - 8x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 8) > 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 8) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x - 8) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (8; +\infty)$.