Номер 16, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 16, страница 15.

Условие.

16. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{5}{\sqrt{x^2 + 3x - 10}} + \frac{6}{2x - 8};$

Решение.

Область определения данной функции — множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 > 0, \\ 2x - 8 \ne 0. \end{cases}$

Ответ:

2) $y = \frac{1}{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}} + \sqrt{x + 1};$

Решение.

Область определения данной функции — множество решений систе- мы неравенств

$\begin{cases} 3 - 5x - 2x^2 > 0, \\ x + 1 \ge 0. \end{cases}$

Ответ:

3) $y = \sqrt{12 + 4x - x^2} - \frac{x - 5}{x^2 + 3x};$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x^2 + 3x - 10 > 0$.
2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $2x - 8 \neq 0$.

Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 > 0 \\ 2x - 8 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 10 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.
Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$ выполняется за пределами корней, то есть при $x < -5$ или $x > 2$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

Решим второе условие:
$2x - 8 \neq 0$
$2x \neq 8$
$x \neq 4$

Теперь объединим решения. Мы должны исключить точку $x=4$ из множества $(-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$. Точка 4 попадает в интервал $(2; +\infty)$, поэтому мы разбиваем этот интервал на два: $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Итоговая область определения: $(-\infty; -5) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) Для данной функции должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $3 - 5x - 2x^2 > 0$.
2. Выражение под вторым корнем должно быть неотрицательным: $x + 1 \geq 0$.

Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3 - 5x - 2x^2 > 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $3 - 5x - 2x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $2x^2 + 5x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство $2x^2 + 5x - 3 < 0$ выполняется между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-3; 0.5)$.

Решим второе неравенство:
$x + 1 \geq 0$
$x \geq -1$
Решение второго неравенства: $x \in [-1; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-3; 0.5) \cap [-1; +\infty)$.
Итоговая область определения: $[-1; 0.5)$.

Ответ: $[-1; 0.5)$.

3) Для данной функции должны выполняться два условия:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $12 + 4x - x^2 \geq 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + 3x \neq 0$.

Составим и решим систему:
$\begin{cases} 12 + 4x - x^2 \geq 0 \\ x^2 + 3x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $12 + 4x - x^2 \geq 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $x^2 - 4x - 12 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x - 12 \leq 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение первого неравенства: $x \in [-2; 6]$.

Решим второе условие:
$x^2 + 3x \neq 0$
$x(x+3) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Объединим условия: из отрезка $[-2; 6]$ нужно исключить точки, в которых знаменатель равен нулю.
Точка $x=-3$ не принадлежит отрезку $[-2; 6]$.
Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 6]$, поэтому ее нужно исключить.
Итоговая область определения: $[-2; 0) \cup (0; 6]$.

Ответ: $[-2; 0) \cup (0; 6]$.