Номер 9, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 9, страница 9.

Условие.

9. Решите неравенство:

1) $(x - 3)(2x + 3) < -7;$

Решение.

Раскроем скобки и перенесём

число $-7$ из правой части

неравенства в левую:

Ответ:

2) $(3x - 5)^2 \ge (5x - 3)^2;$

Решение.

Раскроем скобки в обеих

частях данного неравенства:

Ответ:

3) $(3x - 2)(x + 3) \ge 2x^2 + 12;$

Решение.

Ответ:

4) $(x + 19)(x - 3) - (2x + 1)(2x - 1) \le x - 38;$

Решение.

Ответ:

5) $\frac{x^2 - x}{6} + x + 1 > \frac{2x + 9}{3};$

Решение.

Умножим обе части данного

неравенства на число

, являющееся наименьшим общим

знаменателем дробей, содержащихся в неравенстве:

Ответ:

6) $\frac{x^2 + 3x}{8} < \frac{x - 1}{4} + \frac{3 - 2x}{2}.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $(x-3)(2x+3) < -7$

Решение.

Раскроем скобки и перенесём число -7 из правой части неравенства в левую:

$2x^2 + 3x - 6x - 9 < -7$

$2x^2 - 3x - 9 + 7 < 0$

$2x^2 - 3x - 2 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$ направлены вверх. Неравенство $2x^2 - 3x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $-0.5 < x < 2$.

Ответ: $(-0.5; 2)$.

2) $(3x-5)^2 \ge (5x-3)^2$

Решение.

Раскроем скобки в обеих частях данного неравенства, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$9x^2 - 30x + 25 \ge 25x^2 - 30x + 9$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$9x^2 - 25x^2 - 30x + 30x + 25 - 9 \ge 0$

$-16x^2 + 16 \ge 0$

Разделим обе части на -16 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 1 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-1)(x+1) \le 0$

Корнями уравнения $(x-1)(x+1) = 0$ являются $x = -1$ и $x = 1$. Ветви параболы $y = x^2 - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.

Таким образом, $-1 \le x \le 1$.

Ответ: $[-1; 1]$.

3) $(3x-2)(x+3) \ge 2x^2 + 12$

Решение.

Раскроем скобки в левой части и перенесём все члены в одну сторону:

$3x^2 + 9x - 2x - 6 \ge 2x^2 + 12$

$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - 12 \ge 0$

$x^2 + 7x - 18 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 7x - 18 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -7$

$x_1 \cdot x_2 = -18$

Корни: $x_1 = -9$, $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 + 7x - 18$ направлены вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется при значениях x, которые меньше или равны меньшему корню, и больше или равны большему корню.

Таким образом, $x \le -9$ или $x \ge 2$.

Ответ: $(-\infty; -9] \cup [2; +\infty)$.

4) $(x+19)(x-3) - (2x+1)(2x-1) \le x-38$

Решение.

Раскроем скобки в левой части:

$(x^2 - 3x + 19x - 57) - (4x^2 - 1) \le x - 38$

$x^2 + 16x - 57 - 4x^2 + 1 \le x - 38$

$-3x^2 + 16x - 56 \le x - 38$

Перенесём все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 + 16x - x - 56 + 38 \le 0$

$-3x^2 + 15x - 18 \le 0$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется при $x \le 2$ или $x \ge 3$.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

5) $\frac{x^2-x}{6} + x + 1 > \frac{2x+9}{3}$

Решение.

Умножим обе части данного неравенства на число 6, являющееся наименьшим общим знаменателем дробей, содержащихся в неравенстве:

$6 \cdot (\frac{x^2-x}{6} + x + 1) > 6 \cdot \frac{2x+9}{3}$

$(x^2-x) + 6(x+1) > 2(2x+9)$

$x^2 - x + 6x + 6 > 4x + 18$

$x^2 + 5x + 6 > 4x + 18$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 + 5x - 4x + 6 - 18 > 0$

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 = -4$, $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх. Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Таким образом, $x < -4$ или $x > 3$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

6) $\frac{x^2+3x}{8} < \frac{x-1}{4} + \frac{3-2x}{2}$

Решение.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$8 \cdot \frac{x^2+3x}{8} < 8 \cdot \frac{x-1}{4} + 8 \cdot \frac{3-2x}{2}$

$x^2+3x < 2(x-1) + 4(3-2x)$

$x^2+3x < 2x - 2 + 12 - 8x$

$x^2+3x < -6x + 10$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 + 3x + 6x - 10 < 0$

$x^2 + 9x - 10 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 = -10$, $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x - 10$ направлены вверх. Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $-10 < x < 1$.

Ответ: $(-10; 1)$.