Номер 4, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратичная функция (продолжение). Параграф 12. Решение квадратных неравенств - номер 4, страница 4.

Условие.

4. На рисунке изображён график функции $y = x^2 - 6x + 9$. Используя рисунок, установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце, указав в таблице под каждой буквой соответствующий номер.

А) $x^2 - 6x + 9 > 0$

Б) $x^2 - 6x + 9 \ge 0$

В) $x^2 - 6x + 9 < 0$

Г) $x^2 - 6x + 9 \le 0$

1) $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

2) $(-\infty; +\infty)$

3) $\{3\}$

4) $\emptyset$

А	Б	В	Г

Решение.

Для решения задачи проанализируем график функции $y = x^2 - 6x + 9$. Заметим, что выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-3)^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(3, 0)$, где парабола касается оси абсцисс (оси $x$). Это полностью соответствует изображению. Теперь установим соответствие для каждого неравенства.

А) $x^2 - 6x + 9 > 0$

Это неравенство означает $y > 0$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых график функции находится строго выше оси $x$. Из графика видно, что парабола расположена выше оси $x$ для всех значений $x$, кроме точки вершины, где $y = 0$. Вершина параболы находится в точке $x = 3$. Следовательно, решением является множество всех действительных чисел, кроме 3, то есть $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Это соответствует варианту ответа под номером 1.
Ответ: 1

Б) $x^2 - 6x + 9 \geq 0$

Это неравенство означает $y \geq 0$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых график функции находится на оси $x$ или выше неё. Так как $y = (x-3)^2$, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, это неравенство выполняется для всех значений $x$. График подтверждает, что вся парабола находится не ниже оси $x$. Следовательно, решением является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Это соответствует варианту ответа под номером 2.
Ответ: 2

В) $x^2 - 6x + 9 < 0$

Это неравенство означает $y < 0$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых график функции находится строго ниже оси $x$. Из графика видно, что таких точек нет, так как минимальное значение функции равно 0. Следовательно, у неравенства нет решений. Это соответствует пустому множеству $\emptyset$, указанному под номером 4.
Ответ: 4

Г) $x^2 - 6x + 9 \leq 0$

Это неравенство означает $y \leq 0$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых график функции находится на оси $x$ или ниже неё. График никогда не опускается ниже оси $x$. Единственная точка, где выполняется условие $y \leq 0$ — это точка касания с осью $x$, где $y=0$. Это происходит в вершине параболы при $x = 3$. Следовательно, решением является единственное число $x = 3$. Это соответствует множеству $\{3\}$, указанному под номером 3.
Ответ: 3

Теперь заполним таблицу:

А	Б	В	Г
1	2	4	3