Номер 23, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 23, страница 121.

Условие.

23. Постройте график функции $y = -2x + 4|x| - x^2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение.

При $x \ge 0$ имеем:

$y = -2x + 4x - x^2 = 2x - x^2$.

При $x < 0$ имеем:

$y = -2x - 4x - x^2 = -6x - x^2$.

Следовательно,

$y = \begin{cases} 2x - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -6x - x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ:

Решение.

Решение.

Данная функция $y = -2x + 4|x| - x^2$ является кусочно-заданной, так как содержит модуль. Раскроем модуль для двух случаев.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = -2x + 4x - x^2 = 2x - x^2$.

Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1). Найдём координаты вершины этой параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

$y_в = 2(1) - 1^2 = 1$.

Вершина находится в точке $(1, 1)$.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс: $2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -2x + 4(-x) - x^2 = -2x - 4x - x^2 = -6x - x^2$.

Это также парабола с ветвями, направленными вниз. Найдём координаты её вершины:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$.

$y_в = -6(-3) - (-3)^2 = 18 - 9 = 9$.

Вершина находится в точке $(-3, 9)$.

Найдём точки пересечения с осью абсцисс: $-6x - x^2 = 0 \implies -x(6+x) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -6$.

Построим график функции. Он состоит из двух частей парабол, соединённых в точке $(0,0)$. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = 2x - x^2$ с вершиной в $(1,1)$, а для $x < 0$ — часть параболы $y = -6x - x^2$ с вершиной в $(-3,9)$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с построенным графиком ровно три общие точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия.

Анализируя график, видим, что три точки пересечения возникают в двух случаях:

• Когда прямая проходит через вершину параболы, расположенную в правой полуплоскости. Это происходит при $m=1$ (ордината вершины $(1,1)$). Прямая $y=1$ касается графика в точке $(1,1)$ и пересекает левую ветвь графика в двух других точках.
• Когда прямая проходит через точку "склейки" графиков $(0,0)$, которая является также точкой пересечения с осью Ox. Это происходит при $m=0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) пересекает график в трех точках: $(-6,0)$, $(0,0)$ и $(2,0)$.

При других значениях $m$ количество точек пересечения будет иным (0, 1, 2 или 4).

Ответ: $0; 1$.