Номер 17, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 17, страница 116.

Условие.

17. Арка моста имеет форму параболы. Составьте уравнение этой параболы, если высота арки равна 9 м, а расстояние между опорами равно 30 м.

Решение.

$y = ax(x - 30)$

$9 = a \cdot 15 \cdot (15 - 30)$

$9 = a \cdot (-225)$

$a = -\frac{9}{225}$

$a = -\frac{1}{25}$

$y = -\frac{1}{25}x(x - 30)$

Ответ:

$y = -\frac{1}{25}x(x - 30)$

Решение.

Решение.

Поместим арку в систему координат, как показано на рисунке. Ось $Oy$ будет служить осью симметрии параболы, а ось $Ox$ — линией, соединяющей опоры моста.

Общее уравнение параболы с вершиной, смещенной по оси $Oy$, имеет вид $y = ax^2 + c$. В нашем случае, вершина параболы — это самая высокая точка арки.

Высота арки равна 9 м, значит, вершина параболы находится в точке с координатами $(0; 9)$. Подставив эти координаты в уравнение $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ — координаты вершины, получаем:
$y = a(x - 0)^2 + 9$
$y = ax^2 + 9$

Расстояние между опорами равно 30 м. Так как парабола симметрична относительно оси $Oy$, опоры находятся в точках, где парабола пересекает ось $Ox$. Координаты этих точек $(-15; 0)$ и $(15; 0)$.

Чтобы найти коэффициент $a$, подставим координаты одной из точек опоры, например $(15; 0)$, в наше уравнение:
$0 = a \cdot 15^2 + 9$
$0 = 225a + 9$
$225a = -9$
$a = -\frac{9}{225}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$a = -\frac{1}{25}$

Теперь подставим найденное значение $a$ в уравнение параболы:
$y = -\frac{1}{25}x^2 + 9$

Ответ: $y = -\frac{1}{25}x^2 + 9$