Номер 11, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 11, страница 113.

Условие.

11. Парабола проходит через точки $A (0; -4)$, $B (-1; -11)$ и $C (4; 4)$. Найдите координаты её вершины.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$.
Поскольку парабола проходит через точки $A (0; -4)$, $B (-1; -11)$ и $C (4; 4)$, их координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

1. Для точки $A (0; -4)$:
$-4 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$
$c = -4$

2. Для точки $B (-1; -11)$:
$-11 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c$
$-11 = a - b + c$

3. Для точки $C (4; 4)$:
$4 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + c$
$4 = 16a + 4b + c$

Мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} c = -4 \\ a - b + c = -11 \\ 16a + 4b + c = 4 \end{cases}$

Подставим значение $c = -4$ из первого уравнения во второе и третье:
$\begin{cases} a - b - 4 = -11 \\ 16a + 4b - 4 = 4 \end{cases}$

Упростим полученную систему:
$\begin{cases} a - b = -7 \\ 16a + 4b = 8 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на 4:
$\begin{cases} a - b = -7 \\ 4a + b = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $b$:
$(a - b) + (4a + b) = -7 + 2$
$5a = -5$
$a = -1$

Теперь подставим значение $a = -1$ в уравнение $4a + b = 2$, чтобы найти $b$:
$4(-1) + b = 2$
$-4 + b = 2$
$b = 6$

Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $y = -x^2 + 6x - 4$.

Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$

Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 3$ в уравнение параболы:
$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$.