Номер 7, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 7, страница 110.

Условие.

7. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции.

1) $f(x) = 3x^2 - 12x + 5$

Решение.

Поскольку старший коэффициент трёхчлена $3x^2 - 12x + 5$ больше нуля, то область значений данной функции $E (f) = [y_0; +\infty)$, где $y_0$ — ордината вершины параболы $y = 3x^2 - 12x + 5$; функция возрастает на промежутке $[x_0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; x_0]$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы.

Имеем: $x_0 = \_ , y_0 = f(x_0) = \_$

Следовательно, $E (f) = \_$, функция возрастает на промежутке $\_$

и убывает на промежутке $\_$

2) $f(x) = \frac{1}{7}x^2 + 2x - 3$

Решение.

3) $f(x) = -0,2x^2 + 4x + 7$

Решение.

Поскольку старший коэффициент трёхчлена $-0,2x^2 + 4x + 7$ меньше нуля, то область значений данной функции $E (f) = (-\infty; y_0]$, где $y_0$ — ордината вершины параболы $y = -0,2x^2 + 4x + 7$; функция возрастает на промежутке $(-\infty; x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0; +\infty)$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы.

Имеем: $x_0 = \_ , y_0 = f(x_0) = \_$

Следовательно, $E (f) = \_$, функция возрастает на промежутке $\_$

и убывает на промежутке $\_$

4) $f(x) = -6x^2 + 36x$

Решение.

Решение.

1) $f(x) = 3x^2 - 12x + 5$

Решение.

Поскольку старший коэффициент трёхчлена $3x^2 - 12x + 5$ ($a=3$) больше нуля, то ветви параболы направлены вверх. Область значений данной функции $E(f) = [y_0, +\infty)$, где $y_0$ — ордината вершины параболы. Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, +\infty)$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы.

Имеем:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = 2$.

Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 5 = 12 - 24 + 5 = -7$.

Следовательно, область значений $E(f) = [-7, +\infty)$, функция возрастает на промежутке $[2, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 2]$.

Ответ: область значений $E(f) = [-7, +\infty)$; промежуток возрастания $[2, +\infty)$; промежуток убывания $(-\infty, 2]$.

2) $f(x) = \frac{1}{7}x^2 + 2x - 3$

Решение.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = \frac{1}{7} > 0$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{7}} = -7$.

Ордината вершины: $y_0 = f(-7) = \frac{1}{7}(-7)^2 + 2(-7) - 3 = 7 - 14 - 3 = -10$.

Область значений функции: $E(f) = [y_0, +\infty) = [-10, +\infty)$.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$, то есть $(-\infty, -7]$, и возрастает на промежутке $[x_0, +\infty)$, то есть $[-7, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-10, +\infty)$; промежуток возрастания $[-7, +\infty)$; промежуток убывания $(-\infty, -7]$.

3) $f(x) = -0,2x^2 + 4x + 7$

Решение.

Поскольку старший коэффициент трёхчлена $-0,2x^2 + 4x + 7$ ($a=-0,2$) меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз. Область значений данной функции $E(f) = (-\infty, y_0]$, где $y_0$ — ордината вершины параболы. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, +\infty)$, где $x_0$ — абсцисса вершины параболы.

Имеем:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-0.2)} = \frac{4}{0.4} = 10$.

Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(10) = -0.2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 7 = -20 + 40 + 7 = 27$.

Следовательно, $E(f) = (-\infty, 27]$, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 10]$ и убывает на промежутке $[10, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 27]$; промежуток возрастания $(-\infty, 10]$; промежуток убывания $[10, +\infty)$.

4) $f(x) = -6x^2 + 36x$

Решение.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -6 < 0$.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{2 \cdot (-6)} = -\frac{36}{-12} = 3$.

Ордината вершины: $y_0 = f(3) = -6(3)^2 + 36(3) = -6 \cdot 9 + 108 = -54 + 108 = 54$.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty, y_0] = (-\infty, 54]$.

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$, то есть $(-\infty, 3]$, и убывает на промежутке $[x_0, +\infty)$, то есть $[3, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 54]$; промежуток возрастания $(-\infty, 3]$; промежуток убывания $[3, +\infty)$.