Номер 4, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 11. Квадратичная функция, её график и свойства - номер 4, страница 105.

Условие.

4. Заполните таблицу.

Парабола

Направление ветвей параболы

Координаты вершины параболы

Количество общих точек с осью x

$y = x^2 - x + 9$

вверх

$(\frac{1}{2}; 8\frac{3}{4})$

0

$y = -0.5x^2 + x + 2$

$y = -4x^2 + 16x - 20$

$y = \frac{1}{6}x^2 - 4x + 24$

Решение.

Для параболы $y = -0,5x^2 + x + 2$:

Направление ветвей параболы
Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае коэффициенты равны: $a = -0,5$, $b = 1$, $c = 2$.
Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Так как $a = -0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вниз.

Координаты вершины параболы
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
Найдем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{1}{-1} = 1$
Найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение параболы:
$y_0 = -0,5 \cdot (1)^2 + 1 \cdot 1 + 2 = -0,5 + 1 + 2 = 2,5$
Таким образом, координаты вершины параболы: $(1; 2,5)$.
Ответ: $(1; 2,5)$.

Количество общих точек с осью x
Количество точек пересечения с осью $x$ равно количеству действительных корней квадратного уравнения $-0,5x^2 + x + 2 = 0$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot (-0,5) \cdot 2 = 1 + 4 = 5$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, парабола пересекает ось $x$ в двух точках.
Ответ: 2.

---

Для параболы $y = -4x^2 + 16x - 20$:

Направление ветвей параболы
В данном уравнении $a = -4$, $b = 16$, $c = -20$.
Так как $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вниз.

Координаты вершины параболы
Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{16}{2 \cdot (-4)} = -\frac{16}{-8} = 2$
Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение:
$y_0 = -4(2)^2 + 16(2) - 20 = -4 \cdot 4 + 32 - 20 = -16 + 32 - 20 = -4$
Координаты вершины параболы: $(2; -4)$.
Ответ: $(2; -4)$.

Количество общих точек с осью x
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $-4x^2 + 16x - 20 = 0$.
$D = 16^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-20) = 256 - 320 = -64$
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, значит, парабола не пересекает ось $x$.
Ответ: 0.

---

Для параболы $y = \frac{1}{6}x^2 - 4x + 24$:

Направление ветвей параболы
В данном уравнении $a = \frac{1}{6}$, $b = -4$, $c = 24$.
Так как $a = \frac{1}{6} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вверх.

Координаты вершины параболы
Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{6}} = \frac{4}{\frac{1}{3}} = 4 \cdot 3 = 12$
Найдем ординату вершины, подставив $x_0 = 12$ в уравнение:
$y_0 = \frac{1}{6}(12)^2 - 4(12) + 24 = \frac{1}{6} \cdot 144 - 48 + 24 = 24 - 48 + 24 = 0$
Координаты вершины параболы: $(12; 0)$.
Ответ: $(12; 0)$.

Количество общих точек с осью x
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для уравнения $\frac{1}{6}x^2 - 4x + 24 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot 24 = 16 - \frac{4 \cdot 24}{6} = 16 - 4 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2), значит, парабола касается оси $x$ в одной точке (в своей вершине).
Ответ: 1.