Номер 24, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 24, страница 102.

Условие.

24. Постройте график функции $y = \frac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-1 - x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Ответ:

Решение.

Построение графика функции

Дана функция $y = \frac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-1 - x}$.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $-1 - x \neq 0 \implies x \neq -1$.

При $x \neq -1$ мы можем упростить выражение для функции, сократив дробь на $(x+1)$: $y = \frac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-(1 + x)} = -(x^2 + 4) = -x^2 - 4$.

Следовательно, график исходной функции — это парабола $y = -x^2 - 4$ с "выколотой" точкой при $x = -1$.

Графиком функции $y = -x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
$y_в = -0^2 - 4 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим $x = -1$ в уравнение параболы $y = -x^2 - 4$: $y(-1) = -(-1)^2 - 4 = -1 - 4 = -5$.
Таким образом, точка с координатами $(-1, -5)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -x^2 - 4$ с вершиной в точке $(0, -4)$, ветвями, направленными вниз, и с выколотой точкой $(-1, -5)$.

Определение значений k

Прямая $y = kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Это означает, что система уравнений $ \begin{cases} y = -x^2 - 4, \quad x \neq -1 \\ y = kx \end{cases} $ должна иметь ровно одно решение.

Количество общих точек (при $x \neq -1$) соответствует количеству корней уравнения $kx = -x^2 - 4$.
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $x^2 + kx + 4 = 0$.

Рассмотрим два возможных случая, когда прямая и график имеют ровно одну общую точку.

Случай 1: Прямая касается параболы.
Касание происходит, если квадратное уравнение $x^2 + kx + 4 = 0$ имеет ровно один корень. Это условие выполняется, когда дискриминант уравнения равен нулю.
$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$k^2 - 16 = 0 \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ или $k = -4$.
Точки касания при этих значениях $k$ не совпадают с выколотой точкой (при $k=4$, $x=-2$; при $k=-4$, $x=2$). Следовательно, эти значения $k$ нам подходят.

Случай 2: Прямая проходит через выколотую точку $(-1, -5)$.
Если прямая $y=kx$ проходит через эту точку, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим их:
$-5 = k \cdot (-1) \implies k = 5$.
Теперь необходимо проверить, сколько всего общих точек имеет прямая $y = 5x$ с графиком нашей функции. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.
Корень $x = -1$ соответствует выколотой точке, которая не является общей точкой прямой и графика. Корень $x = -4$ является абсциссой единственной общей точки прямой $y=5x$ и графика функции. Значит, значение $k=5$ нам также подходит.

Ответ: $-4; 4; 5$.