Номер 19, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 19, страница 98.

Условие.

19. Решите графически уравнение:

1) $\frac{4}{x+1} = x-2;$

Решение.

Построим в одной системе координат

графики функций $y = \frac{4}{x+1}$ и $y = x-2$.

Ответ:

2) $(x+2)^2 - 4 = \sqrt{x+3} + 3.$

Решение.

Построим в одной системе координат

графики функций $y = (x+2)^2 - 4$ и $y = \sqrt{x+3} + 3$.

Ответ:

Решение.

1)

Для графического решения уравнения $ \frac{4}{x+1} = x - 2 $ необходимо построить в одной системе координат графики функций $ y = \frac{4}{x+1} $ и $ y = x - 2 $. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $ y = \frac{4}{x+1} $. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $ y = \frac{4}{x} $ на 1 единицу влево по оси Ox. Вертикальная асимптота $ x = -1 $, горизонтальная асимптота $ y = 0 $. Найдем несколько точек для построения:

• Если $ x = -5 $, то $ y = -1 $.
• Если $ x = -3 $, то $ y = -2 $.
• Если $ x = -2 $, то $ y = -4 $.
• Если $ x = 0 $, то $ y = 4 $.
• Если $ x = 1 $, то $ y = 2 $.
• Если $ x = 3 $, то $ y = 1 $.

2. Построим график функции $ y = x - 2 $. Это прямая. Для построения достаточно двух точек:

• Если $ x = 0 $, то $ y = -2 $. Точка $ (0, -2) $.
• Если $ x = 2 $, то $ y = 0 $. Точка $ (2, 0) $.

3. Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты по чертежу: $ (-2, -4) $ и $ (3, 1) $. Абсциссы этих точек $ x = -2 $ и $ x = 3 $ являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $ -2; 3 $.

2)

Для графического решения уравнения $ (x + 2)^2 - 4 = \sqrt{x + 3} + 3 $ необходимо построить в одной системе координат графики функций $ y = (x + 2)^2 - 4 $ и $ y = \sqrt{x + 3} + 3 $. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $ y = (x + 2)^2 - 4 $. Это парабола, полученная сдвигом графика функции $ y = x^2 $ на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $ (-2, -4) $, ветви направлены вверх. Найдем несколько точек для построения:

• $ (-4, 0) $
• $ (-3, -3) $
• $ (-2, -4) $ (вершина)
• $ (-1, -3) $
• $ (0, 0) $
• $ (1, 5) $

2. Построим график функции $ y = \sqrt{x + 3} + 3 $. Это ветвь параболы, полученная сдвигом графика функции $ y = \sqrt{x} $ на 3 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy. Область определения функции: $ x \ge -3 $. Найдем несколько точек для построения:

• $ (-3, 3) $ (начальная точка)
• $ (-2, 4) $
• $ (1, 5) $
• $ (6, 6) $

3. Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в одной точке. Определим ее координаты по чертежу: $ (1, 5) $. Абсцисса этой точки $ x = 1 $ является решением исходного уравнения.

Ответ: $ 1 $.