Номер 13, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 13, страница 94.

Условие.

13. Постройте график функции $y = (x - 3)^2 - 1$. Используя график, заполните пропуски.

1) $E(y) = $

2) $y = 0$ при $x = $

3) $y > 0$ при

4) $y < 0$ при

5) Функция возрастает на

6) Функция убывает на

Решение.

Для построения графика функции $y = (x - 3)^2 - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. За основу возьмем график базовой параболы $y = x^2$. Далее выполним следующие преобразования:

1. Сдвинем график $y = x^2$ на 3 единицы вправо по оси Ox. Получим график функции $y = (x - 3)^2$. Вершина этой параболы будет в точке $(3; 0)$.
2. Сдвинем полученный график $y = (x - 3)^2$ на 1 единицу вниз по оси Oy. Получим искомый график $y = (x - 3)^2 - 1$.

Таким образом, мы получили параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(3; -1)$. Для более точного построения найдем несколько точек:

• Вершина: $x = 3, y = (3-3)^2 - 1 = -1 \rightarrow (3; -1)$
• Точки пересечения с осью Ox (y=0): $(x-3)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 1 \Rightarrow x-3 = \pm 1$. Отсюда $x_1 = 4$ и $x_2 = 2$. Точки: $(2; 0)$ и $(4; 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy (x=0): $y = (0-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка: $(0; 8)$.
• Дополнительные симметричные точки: при $x=1, y = (1-3)^2 - 1 = 3 \rightarrow (1; 3)$. При $x=5, y=(5-3)^2 - 1 = 3 \rightarrow (5; 3)$.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Теперь, используя график, заполним пропуски.

1) E(y) =

Область значений функции $E(y)$ — это все возможные значения, которые принимает $y$. Так как вершина параболы находится в точке $(3; -1)$ и ветви направлены вверх, минимальное значение функции равно -1. Максимального значения нет.
Ответ: $[-1; +\infty)$

2) y = 0 при x =

Значение функции равно нулю в точках пересечения графика с осью Ox. Мы уже нашли эти точки при построении.
Ответ: 2 и 4

3) y > 0 при

Функция принимает положительные значения там, где ее график расположен выше оси Ox. Это происходит левее точки $x=2$ и правее точки $x=4$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$

4) y < 0 при

Функция принимает отрицательные значения там, где ее график расположен ниже оси Ox. Это происходит между точками пересечения, то есть между $x=2$ и $x=4$.
Ответ: $x \in (2; 4)$

5) Функция возрастает на

Функция возрастает на том промежутке, где при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Для параболы с ветвями вверх это происходит справа от вершины. Вершина находится при $x=3$.
Ответ: $[3; +\infty)$

6) Функция убывает на

Функция убывает на том промежутке, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Для параболы с ветвями вверх это происходит слева от вершины.
Ответ: $(-\infty; 3]$