Номер 14, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x+a) - номер 14, страница 94.

Условие.

14. Постройте график функции $y = \frac{8}{x+5} - 3$. Используя график, заполните пропуски.

1) D (y) =

2) E (y) =

3) $y = 0$ при

4) $y > 0$ при

5) $y < 0$ при

6) Функция убывает на

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{8}{x+5} - 3$ и анализа её свойств, сначала определим её ключевые характеристики. Это гипербола, полученная смещением графика функции $y = \frac{8}{x}$ на 5 единиц влево и на 3 единицы вниз.

Построение графика:

1. Асимптоты. Вертикальная асимптота находится там, где знаменатель обращается в ноль: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Горизонтальная асимптота определяется сдвигом по вертикали: $y=-3$.

2. Ветви гиперболы. Поскольку коэффициент при дроби $k=8$ положителен, ветви графика будут располагаться в первой и третьей четвертях относительно нового центра, образованного асимптотами $(-5, -3)$.

3. Опорные точки. Вычислим координаты нескольких точек для более точного построения:

• при $x = -4, y = \frac{8}{-4+5} - 3 = 8 - 3 = 5$
• при $x = -3, y = \frac{8}{-3+5} - 3 = \frac{8}{2} - 3 = 4 - 3 = 1$
• при $x = -1, y = \frac{8}{-1+5} - 3 = \frac{8}{4} - 3 = 2 - 3 = -1$
• при $x = 3, y = \frac{8}{3+5} - 3 = \frac{8}{8} - 3 = 1 - 3 = -2$
• при $x = -6, y = \frac{8}{-6+5} - 3 = \frac{8}{-1} - 3 = -8 - 3 = -11$
• при $x = -7, y = \frac{8}{-7+5} - 3 = \frac{8}{-2} - 3 = -4 - 3 = -7$
• при $x = -9, y = \frac{8}{-9+5} - 3 = \frac{8}{-4} - 3 = -2 - 3 = -5$

На координатной плоскости строим пунктиром асимптоты $x=-5$ и $y=-3$. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными кривыми, которые стремятся к асимптотам.

Теперь, используя проведенный анализ и свойства графика, заполним пропуски.

1) D (y) =

Область определения функции — это все допустимые значения аргумента $x$. Для данной функции единственное ограничение — знаменатель не должен быть равен нулю.

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.

Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме -5.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

2) E (y) =

Область значений функции — это все значения, которые может принимать $y$. Из-за горизонтальной асимптоты $y = -3$, график функции никогда не пересекает эту линию. Следовательно, $y$ может быть любым числом, кроме -3.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

3) y = 0 при

Значение $x$, при котором $y=0$, является точкой пересечения графика с осью Ox (нуль функции). Решим уравнение:

$\frac{8}{x+5} - 3 = 0$

$\frac{8}{x+5} = 3$

$8 = 3(x+5)$

$8 = 3x + 15$

$3x = -7$

$x = -\frac{7}{3}$

Ответ: $x = -\frac{7}{3}$.

4) y > 0 при

Функция положительна, когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между вертикальной асимптотой $x=-5$ и нулём функции $x=-\frac{7}{3}$. Решим неравенство:

$\frac{8}{x+5} - 3 > 0 \Rightarrow \frac{8 - 3(x+5)}{x+5} > 0 \Rightarrow \frac{-3x - 7}{x+5} > 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{3x + 7}{x+5} < 0$.

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-5; -\frac{7}{3})$.

Ответ: $x \in (-5; -\frac{7}{3})$.

5) y < 0 при

Функция отрицательна, когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит левее вертикальной асимптоты $x=-5$ и правее нуля функции $x=-\frac{7}{3}$. Решим неравенство:

$\frac{8}{x+5} - 3 < 0 \Rightarrow \frac{3x + 7}{x+5} > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x < -5$ или $x > -\frac{7}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-\frac{7}{3}; +\infty)$.

6) Функция убывает на

Функция вида $y = \frac{k}{ax+b}$ при $k \cdot a > 0$ убывает на всей области определения. В нашем случае $y = \frac{8}{x+5} - 3$, где $k=8 > 0$ и коэффициент при $x$ равен $1 > 0$. Следовательно, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: $(-\infty; -5)$ и $(-5; +\infty)$.